쌍용동 천안쌍용고등학교 수학과외
경계값에서 멈춰 선 이항계수 선택지
천안쌍용고등학교 학생과의 수업에서는 선택지의 참·거짓을 이항계수의 대칭성으로 판별하는 문제를 다뤘다. 학생은 식 옆에 작은 값을 대입해 보며 nCr = nC(n-r)를 이용할 수 있는지 확인했지만, 판단 기준이 바뀌는 경계에서 풀이를 다시 시작해야 했다.
r=0과 r=n을 지나며 달라진 판단
학생은 계산량을 줄이기 위해 r과 n-r 중 작은 값을 선택하면 된다고 정리했다. 예를 들어 8C2를 8C6으로 바꾸어 같은 값으로 보는 것은 맞다. 하지만 r=0일 때는 8C0=8C8=1이 되고, r이 n보다 커지면 8C(n-r)라는 표현을 같은 방식으로 사용할 수 없다. 대칭식은 n과 r이 정수이고 0≤r≤n이라는 범위 안에서 확인해야 하기 때문이다.
선택지를 검토하던 중 학생은 대칭 관계에 맞아 보이는 후보를 정답으로 표시했다. 그러나 그 후보가 모든 경계값에서도 성립한다고 판단하면서, r=0 또는 r=n을 직접 대입하지 않은 것이 오류의 시작이었다.
대칭성은 계산 방향을 바꾸는 관계이지, 허용 범위를 없애는 규칙은 아니다.
틀린 값을 지우는 대신 반례를 만든 과정
교사는 학생이 표시한 답을 바로 고치게 하지 않고, 그 선택지가 허용되지 않는 경우를 하나 만들어 보게 했다. 학생은 먼저 n=5, r=0을 대입해 5C0=5C5=1임을 확인한 뒤, r=6처럼 r>n인 경우에는 조합의 조건 자체가 성립하지 않는다는 점을 따로 적었다. 이 과정을 통해 식의 모양이 비슷하다는 이유만으로 모든 값을 같은 방식으로 처리할 수 없음을 확인했다.
이후 학생은 선택지를 볼 때 먼저 n과 r의 범위를 표시하고, 그 안에서만 r을 n-r로 바꾸었다. 경계값을 넣었을 때 결과가 달라지는지, 또는 아예 허용되지 않는 값이 되는지를 반례로 점검하면서 처음의 표시를 수정했다.
표현을 바꾼 새 관계식에서 대칭성 적용하기
다음에는 앞서 본 식을 그대로 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 새로운 문항을 제시했다. 학생은 10C8을 보고 곧바로 10C2로 바꾸어 계산했으며, 10C0과 10C10도 같은 값인지 직접 확인했다. 동시에 10C11처럼 범위를 벗어난 항은 대칭식으로 억지로 바꾸지 않고 허용되지 않는 경우로 분류했다.
마지막에는 선택지 없이 “대칭성으로 바꿀 수 있는 조건은 무엇인가”를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 정수 조건과 0≤r≤n을 먼저 확인한 뒤, 그 범위에서만 n-r을 사용한다고 정리했다. 경계값과 범위 밖의 값을 각각 대입해도 반례가 남지 않는지 점검하면서, 계산식의 모양이 아니라 조건까지 확인하는 풀이로 마무리했다.