동남구 천안여자고등학교 수학과외
조건을 거꾸로 읽으며 선택 범위를 좁힌 풀이
천안여자고등학교 학생과 매개변수가 포함된 경우의 수 문제를 풀던 중, 선택 개수에 상한이 붙은 상황에서 포함배제를 어떻게 적용할지 판단하는 장면이 있었다. 학생은 처음부터 식을 전개하지 않고, 풀이 여백에 ‘초과되는 선택 수’, ‘제외할 경우’, ‘남겨야 할 범위’를 적은 작은 표를 만들었다.
표시는 남았지만 기준이 바뀐 순간
표를 이용해 각 조건에 해당하는 후보를 좁혀 가는 데까지는 진행했지만, 상한을 넘는 경우를 제외하는 단계에서 판단이 흔들렸다. 조건 하나를 적용할 때는 제외해야 할 대상을 표시했으나, 두 조건이 동시에 겹치는 경우에는 그 대상을 다시 더해야 한다는 점을 놓치며 풀이를 중단한 것이다.
예를 들어 전체 경우에서 조건 A 또는 조건 B를 위반하는 경우를 제외할 때는 단순히 두 경우를 빼는 것이 아니라, 겹치는 경우를 한 번 되돌려야 한다. 학생은 후보를 찾은 뒤에도 반례를 하나씩 대입해 보지 않아, 조건에 맞지 않는 선택지를 정답으로 확정했다.
상한을 넘는 경우를 제한할 때는 제외할 대상의 합뿐 아니라, 여러 조건에 동시에 해당하는 겹침까지 확인해야 한다.
암기한 절차를 조건의 언어로 바꾸기
교정에서는 계산 순서를 반복시키기보다, 학생이 같은 내용을 다른 말로 설명하게 했다. 학생은 “허용 범위를 벗어난 경우를 먼저 모은 뒤, 두 번 세어진 겹치는 경우를 한 번 보정한다”고 정리했다. 이후 표의 각 칸에 단순한 기호만 남기지 않고, 해당 칸이 전체 경우인지, 제외 대상인지, 중복 보정 대상인지 구분해 적었다.
결론에서 거꾸로 필요한 조건 찾기
다음 문제에서는 상한을 넘는 경우를 직접 세는 대신, 특정 결론이 나오기 위해 어떤 조건들이 제외되어야 하는지를 역방향으로 묻는 형태로 바꾸었다. 학생은 먼저 최종 범위를 확인하고, 그 범위를 만들기 위해 빠져야 할 경우와 서로 겹치는 경우를 나누었다. 이전처럼 주어진 식을 따라가지 않고, 필요한 포함배제 항을 거꾸로 구성해 풀이 순서를 세웠다.
마지막에는 답만 확인하지 않고, 상한 조건을 하나 제거했을 때 결과가 어떻게 달라지는지 비교했다. 또한 자신이 제외한 경우 중 두 조건을 동시에 만족하는 사례를 다시 찾아 한 번만 보정했는지 점검했다. 이 검토를 통해 최종 답이 조건의 범위 안에 있고, 겹치는 경우를 빠뜨리거나 중복해서 빼지 않았는지 확인했다.