흥덕구 오송고등학교 수학과외
분산의 제곱근을 비교하던 중 생긴 혼동
오송고등학교 학생은 두 자료의 조건을 비교하며 표준편차와 분산의 관계를 살펴보고 있었다. 그림에서 관련된 위치를 직접 표시한 뒤 각각의 결과를 계산했지만, 두 값이 달라진 원인을 한 가지 조건으로 정리하지 못했다. 흥덕구의 동리마을과 어곡마을 사이를 오가며 진행한 학습에서도 계산보다 비교 기준을 세우는 일이 더 큰 과제로 남았다.
여러 조건을 동시에 바꾼 비교
처음에는 두 문제의 조건을 표시하고 결과를 나란히 적었다. 그러나 한 문제에서는 자료의 값과 분산을 함께 바꾸고, 다른 문제에서도 여러 수치를 동시에 수정했다. 결과 차이는 확인했지만 어느 변화가 표준편차에 영향을 주었는지 특정할 수 없었다.
분산이 주어졌을 때 표준편차는 분산의 양의 제곱근으로 정한다.
분산만 바꾸어 원인을 좁힌 과정
교정할 때는 한 쌍의 문제에서 분산만 다르게 두고 나머지 조건은 그대로 유지했다. 예를 들어 분산이 9인 경우 표준편차는 √9=3이고, 분산이 16으로 바뀌면 표준편차는 √16=4가 된다. 이렇게 비교하자 결과의 차이가 다른 자료 조건이 아니라 분산의 변화에서 비롯되었음을 확인할 수 있었다. 제곱근 중 음수가 아닌 값을 선택한다는 기준도 함께 표시했다.
조건이 달라진 쌍문항에서의 독립 판단
이후에는 기존 자료와 다른 조건으로 두 문항을 제시했다. 학생은 먼저 두 문항에서 공통으로 유지된 값을 찾고, 바뀐 조건을 하나만 표시한 뒤 분산의 양의 제곱근을 각각 계산했다. 계산 결과만 나열하지 않고 “분산이 달라졌으므로 그 양의 제곱근인 표준편차도 달라졌다”고 변화의 이유를 설명했다.
표준편차에서 분산으로 거꾸로 확인하기
마지막에는 표준편차가 5일 때 분산을 구하게 한 뒤, 다시 그 분산에서 표준편차가 5로 돌아오는지 역순으로 점검했다. 5²=25이고 √25=5이므로 두 관계가 맞물리는 것을 확인했다. 학생은 답을 제시한 뒤 분산을 제곱하고 그 결과의 양의 제곱근을 취하는 과정을 거꾸로 설명하며 판단 근거가 일관적인지 검증했다.