청원구 청원고등학교 수학과외

기대손익을 계산할 줄 알아도 중간 근거가 필요했던 풀이

청원구에서 수학 과외를 받던 학생은 여러 단계로 이어진 게임 문제를 읽고, 어느 시점에 각 결과의 확률과 손익을 이용해야 하는지 스스로 판단했다. 내덕시영아파트에서 수업에 오던 날, 학생은 풀이 순서를 먼저 번호로 정리한 뒤 ‘게임의 기대손익을 계산해 공정한 조건을 판단하는 단계’를 중간에 배치했다.

처음에는 순서를 정했다는 점에 집중했지만, 실제 식을 쓰자 문제가 드러났다. 앞 단계에서 얻은 결과와 확률을 정리한 뒤 곧바로 기대손익 식을 적으면서, 왜 그 항들이 포함되는지 설명하는 중간 과정이 빠졌다. 따라서 계산 자체보다 앞 식에서 다음 식으로 넘어가는 연결이 끊긴 상태였다.

확률과 손익이 기대값 식으로 바뀌는 사이

학생이 작성한 풀이에서는 각 결과의 손익을 x₁, x₂, …, 그 확률을 p₁, p₂, …로 정리한 다음, 설명 없이

p₁x₁ + p₂x₂ + …

를 적었다. 이 식은 각 손익에 해당 확률을 곱해 합한 기대손익이라는 점이 핵심인데, 학생은 앞에서 어떤 경우를 나누었고 각 경우가 왜 이 항으로 연결되는지 생략했다. 기대손익이 0인지, 양수인지, 음수인지에 따라 공정한 조건의 판단도 달라지므로 중간 근거가 빠지면 마지막 결론만 맞혀도 풀이의 타당성을 확인하기 어려웠다.

기대손익은 결과의 손익을 단순히 더하는 값이 아니라, 각 손익에 그 결과가 발생할 확률을 곱해 모두 합한 값이다.

교정할 때는 이미 쓴 풀이를 지우지 않고, 비어 있던 줄마다 앞뒤 관계를 복원했다. 먼저 가능한 결과를 나열하고, 각 결과의 확률과 손익을 대응시킨 뒤, ‘이 경우의 기대 기여는 확률과 손익의 곱이다’라는 연결 문장을 붙였다. 그 다음 각 기여를 더해 전체 기대손익을 구하고, 참가비나 보상 조건이 포함된 경우에는 어느 항에 반영되었는지도 표시했다. 이렇게 하자 공정성 판단이 계산 결과에서 갑자기 나오는 것이 아니라, 결과 정리와 기대값 계산을 거쳐 이어진다는 점이 드러났다.

비어 있는 한 단계를 새 게임에서 채우다

이후에는 앞선 문제와 다른 형태로, 풀이 중 한 단계가 비어 있는 문항을 제시했다. 학생은 정해진 순서를 그대로 외워 쓰지 않고 먼저 앞 식에 담긴 각 항이 어떤 결과를 뜻하는지 확인했다. 이어서 빠진 줄에 해당 결과의 확률과 손익의 곱을 채우고, 그 합이 전체 기대손익이 된다는 근거를 직접 작성했다.

문제의 조건과 손익 표현이 달라졌는데도 학생은 숫자나 식의 모양만 따라가지 않았다. 각 경우를 빠짐없이 대응시킨 뒤 기대손익을 계산하고, 그 값이 0이면 공정한 조건인지, 양수나 음수이면 어느 쪽에 유리한지를 구분해 판단했다.

처음 판단과 풀이 후 판단의 차이

마지막에는 처음 문제를 읽었을 때와 풀이를 마친 뒤의 판단을 비교하게 했다. 학생은 처음에는 기대손익 계산 단계만 정하면 충분하다고 보았지만, 최종적으로는 그 계산에 들어가는 각 항의 출처와 앞 단계에서 넘어오는 근거까지 확인해야 공정성 판단을 믿을 수 있다고 설명했다. 교사는 새로운 계산을 추가하기보다, 학생이 직접 생략된 줄을 찾아 식의 연결을 설명하는 방식으로 이해가 정착되었는지 확인했다.