사창동 청주중앙여자고등학교 수학과외
사창동에서 수학 과외를 진행하던 중, 청주중앙여자고등학교 학생이 여사건의 확률이 주어진 문제를 풀다가 긴 전개에 붙잡혔다. 문제의 식은 여러 항과 계수가 섞여 있어 처음부터 직접 전개하면 계산량이 커지는 형태였고, 핵심은 원사건을 바로 계산하는 것이 아니라 여사건과의 관계를 이용해 확률을 거꾸로 구하는 데 있었다.
전개보다 먼저 찾아야 했던 확률의 짝
학생은 처음에 식을 모두 전개하려 했다. 그러나 풀이를 멈추고 어떤 사건의 여사건 확률이 제시되었는지 표시하게 하자, 원사건을 A라 할 때 필요한 관계가 P(A)=1-P(Ac)임을 확인했다. 예를 들어 P(Ac)가 0.37로 주어졌다면 복잡한 원사건의 경우를 직접 세지 않고 P(A)=1-0.37=0.63으로 구할 수 있다.
다만 계수와 배열이 낯설게 보이면 학생은 다시 전개부터 시작했다. 계산을 줄이려는 과정에서도 여사건 확률을 이루는 항까지 함께 지워 버려, 뒤에서 원사건과 연결할 값이 남지 않는 문제가 생겼다.
없앤 항의 이유를 식 옆에 남기기
이때 각 항을 임의로 삭제하지 않고, 옆에 삭제 가능한 이유를 적게 했다. 여사건에 해당하지 않아 제외되는 항인지, 같은 조건을 묶어 표현을 간단히 한 것인지 구분한 뒤에야 식을 줄이도록 했다. 이렇게 정리하자 먼저 P(Ac)를 정확히 남기고, 마지막에 1에서 그 값을 빼는 순서가 분명해졌다.
여사건의 확률을 알고 있다면 원사건의 확률은 두 확률의 합이 1이라는 관계에서 역산한다.
배열이 길어진 새 문항에서 구조를 먼저 찾다
이후에는 항의 배열이 더 길고 전개할 경우 경우의 수가 늘어나는 문제를 제시했다. 학생은 각 항을 무작정 계산하지 않고, 문제에서 구하려는 사건과 이미 주어진 사건이 서로 여사건인지 먼저 확인했다. 여사건 관계가 성립한다고 판단한 뒤 주어진 확률을 정리하고, 필요한 값만 1에서 빼서 답을 완성했다.
마지막에는 식을 역순으로 점검하게 했다. 자신이 구한 원사건 확률과 여사건 확률을 다시 더해 1이 되는지 확인하고, 여사건 관계가 아닌 두 사건에는 이 역산을 적용할 수 없다는 조건도 설명하게 했다. 이를 통해 계산을 줄이는 요령이 아니라, 여사건일 때만 사용할 수 있는 확률 관계를 스스로 판별했는지 검증했다.