동면 강원고등학교 수학과외
중간값의 방향을 놓치면서 시작된 수열 판정
강원고등학교 학생과 무한대로 발산하는 수열과 진동하는 수열을 다루던 날, 학생은 먼저 문제에서 요구한 값을 네모로 표시했다. 이어 중간에 계산된 수열의 형태를 살펴보며 그 값까지 연결되는 관계를 찾았다. 이 순서 덕분에 계산 결과를 곧바로 답으로 옮기는 실수는 줄었지만, 왜 그 수열을 특정 유형으로 분류하는지 설명할 때는 “값이 계속 커진다”처럼 모호한 표현에 머물렀다.
커지는 항과 오르내리는 항을 같은 기준으로 읽은 장면
특히 a_n=(-1)^n n과 같은 수열을 판단하면서 허용되지 않는 값을 답에 포함했다. 항의 절댓값은 커지지만 실제 항은 양수와 음수를 번갈아 가지므로 모든 항이 한 방향으로 커지는 것은 아니다. 반면 b_n=n^2+1은 충분히 큰 모든 n에서 값이 계속 커져 양의 무한대로 발산한다.
양의 무한대로 발산하려면 항들이 결국 임의로 큰 양수가 되어야 하며, 크기만 커지고 방향이 계속 바뀌면 진동하는 수열로 판단해야 한다.
교정할 때는 학생에게 ‘무한대로 발산한다’를 다른 말로 바꾸어 설명하게 했다. “어떤 큰 수를 정해도 그 이후의 모든 항이 그보다 커진다”라고 말할 수 있어야 하며, 단순히 절댓값이 커진다는 설명만으로는 부족하다는 점을 확인했다. 또한 양수 항과 음수 항이 번갈아 나오는 예를 함께 놓고, 기존 설명이 왜 성립하지 않는지 반례로 점검했다.
표현을 바꾼 새 관계식에서 분류하기
이후에는 앞서 본 식을 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 새로운 문제를 제시했다. 예를 들어 c_n=3n-5에서는 항이 일정한 방향으로 커지므로 양의 무한대로 발산한다고 판단했고, d_n=(-1)^n(2n+1)에서는 절댓값은 커져도 부호가 교대로 바뀌므로 진동하는 수열로 분류했다. 학생은 두 식을 계산값만 비교하지 않고 항의 방향과 부호 변화로 구분했다.
마지막에는 ‘절댓값이 커지는 수열은 모두 양의 무한대로 발산한다’는 문장을 반례로 검증하게 했다. d_n이 그 문장을 무너뜨린다는 점을 스스로 확인하면서, 허용되지 않는 분류를 답에 포함했던 오류가 어느 판단에서 시작됐는지도 찾아냈다.