도마동 서대전여자고등학교 수학과외
전개보다 먼저 공비가 1인지 살핀 풀이
서대전여자고등학교 학생은 도마동에서 학습하던 중, 항을 모두 전개하면 계산이 길어지는 등비수열의 합 문항을 만났다. 처음에는 일반적인 합 공식을 바로 적용하려 했지만, 식의 항들이 같은 값으로 반복되는 구조를 발견한 뒤 전개를 멈췄다.
학생은 여백에 각 항 사이의 비를 표시하며 공비가 1인지를 먼저 확인했다. 공비가 1이면 일반식의 분모가 0이 되므로 별도로 다뤄야 하고, 첫째항이 a인 항이 n개라면 합은 na가 된다. 예를 들어 a, a, a, a의 합은 공비 1인 등비수열의 합이므로 4a이다.
후보를 찾은 뒤에도 반례를 확인한 이유
선택지를 검토할 때 학생은 공비가 1인 경우에 맞는 식을 하나 골랐지만, 다른 조건에서도 그 결과가 성립하는지 확인하지 않고 정답으로 확정하려 했다. 교사는 값을 지우게 하기보다, 해당 선택지가 허용되려면 모든 항 사이의 비가 1이어야 한다는 조건을 다시 적용하게 했다.
학생은 항 하나가 달라지는 반례를 직접 만들었다. 예를 들어 a, a, 2a처럼 중간 항이 바뀌면 모든 항의 공비가 1이라고 볼 수 없으므로 단순히 항의 개수와 첫째항만 곱할 수 없다. 이 과정을 통해 공비 1이라는 판단은 비슷하게 보이는 항의 모양이 아니라, 인접한 항의 비가 실제로 모두 1인지로 결정된다는 점을 확인했다.
표현을 바꾼 문항에서 조건부터 다시 세우다
이후에는 이전 식을 그대로 제시하지 않고, 공비가 1이라는 조건만 유지한 새로운 관계식을 풀게 했다. 학생은 예를 들어 첫째항을 b로 두고 항들이 b, b, b, …처럼 이어지는지 먼저 확인한 뒤, 항의 개수가 m개이면 합을 mb로 구성했다. 숫자와 표현이 달라졌지만 공식을 기계적으로 끌어오지 않고 등비수열의 조건에서 직접 합을 만들어 냈다.
공비가 1인 등비수열은 일반적인 분수 공식에 대입하는 대상이 아니라, 같은 항이 반복되는 수열로 보고 항의 개수만큼 더한다.
마지막에는 학생이 풀이를 역순으로 설명했다. 먼저 합이 na로 나온 이유를 말하고, 항이 n개이며 모두 a라는 사실을 확인한 다음, 그 항들이 이어지는 비가 1이어서 특수한 경우로 처리했다고 연결했다. 반대로 항 하나라도 달라지면 같은 방식의 합을 적용할 수 없다는 점까지 설명하면서, 공비 1의 판단과 결과 사이의 논리를 스스로 검증했다.