대전중구 남대전고등학교 수학과외

두 풀이가 갈린 줄에서 시작한 탄젠트 부호 점검

남대전고등학교 수학 학습에서 한 학생은 삼각함수 부호를 묻는 선택지 문제를 풀며 두 풀이 후보를 나란히 적었다. 버드내1단지아파트 인근에서 진행한 수업에서도 학생은 여백에 사분면별 부호를 표시했지만, 어느 줄부터 판단 기준이 달라졌는지 다시 찾아야 하는 상태였다.

핵심은 탄젠트의 부호를 별도의 암기표로 고르는 것이 아니라, tan θ = sin θ ÷ cos θ로 보고 분자와 분모의 부호 조합을 확인하는 일이었다. 예를 들어 sin θ와 cos θ가 모두 양수인 제1사분면에서는 tan θ가 양수이고, sin θ가 양수·cos θ가 음수인 제2사분면에서는 tan θ가 음수가 된다.

제2사분면 사례를 빠뜨려 선택지를 확정한 장면

학생은 두 풀이 중 하나가 ‘sin과 cos의 부호가 같으면 tan은 양수’라고 정리한 것을 발견하고 옳은 후보라고 판단했다. 그러나 반례를 직접 대입하지 않은 채 답을 확정한 것이 문제였다. 제3사분면에서는 sin θ와 cos θ가 모두 음수이므로 비율은 양수지만, 제2사분면에서는 두 부호가 서로 달라 tan θ가 음수다. 따라서 단순히 한 사분면의 결과만으로 전체 조건을 판단할 수 없었다.

교정할 때는 기존 풀이를 그대로 따라가지 않고, 사분면을 먼저 정한 뒤 sin θ와 cos θ의 부호를 각각 적고 나눗셈 결과를 계산하는 방식으로 다시 검산했다.

탄젠트의 부호는 sin과 cos의 부호가 같은지 다른지를 비교해 결정하며, 두 함수의 부호 자체를 하나만 보고 판단하지 않는다.

표현을 바꾼 조건에서 직접 만든 관계식

이후에는 앞서 본 식을 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 새 문항을 풀었다. 예를 들어 θ가 제4사분면에 있고 cos θ가 양수라는 조건에서 sin θ는 음수이므로 tan θ는 음수라고 판단했다. 이번에는 선택지에 의존하지 않고 학생이 직접 “sin은 음수, cos는 양수, 따라서 음수를 양수로 나눈 tan은 음수”라는 관계를 구성했다.

제1사분면과 제3사분면처럼 두 부호가 같은 경우에는 tan이 양수이고, 제2사분면과 제4사분면처럼 부호가 다른 경우에는 tan이 음수라는 결과도 새 조건에 맞춰 다시 적용했다.

반례가 남아 있는지 확인한 최종 점검

마지막에는 선택지를 고르는 대신 자신이 만든 판단 기준에 반례가 있는지 확인했다. sin과 cos의 부호 조합 네 가지를 차례로 대입해 양수·양수, 양수·음수, 음수·음수, 음수·양수일 때의 tan 부호를 모두 비교했다. 어느 조합에서도 기준과 다른 결과가 나오지 않음을 확인하면서, 특정 예 하나를 보고 답을 정하는 대신 모든 가능한 부호 조합을 점검해야 한다는 판단이 풀이에 정착됐다.