둔산동 충남고등학교 수학과외
둔산동에서 진행한 한 서술형 풀이에서 학생은 답으로 구해야 할 공비를 네모로 표시한 뒤, 주어진 부분합과 특정 항이 어떻게 연결되는지부터 찾았다. 충남고등학교 문제처럼 조건이 문장 속에 흩어져 있는 경우, 계산보다 먼저 어떤 항과 부분합을 비교해야 하는지가 핵심이었다.
부분합과 항의 연결고리를 찾았지만
학생은 부분합을 나타내는 식에서 필요한 값을 표시하고, 후보 공비를 하나씩 줄여 갔다. 특히 S_n-S_{n-1}=a_n이라는 관계와 등비수열에서 연속한 항의 비가 공비라는 점을 이용해 조건을 식으로 옮겼다. 덕분에 가능한 값의 범위는 좁혔지만, 마지막에는 왜 남은 값이 문제의 공비인지 설명하는 과정이 끊겼다.
풀이를 다시 살펴보니 특정 항 하나를 확인해야 하는 단계에서 그 항을 빠뜨린 채 부분합의 식만 정리한 것이 원인이었다. 계산 자체보다 ‘부분합에서 어떤 항을 빼야 현재 항이 되는가’를 놓친 것이었다.
첫 줄에 관계를 적고 빠진 항을 즉시 확인하기
이후에는 풀이를 시작하기 전에 다음 기준을 위에 적었다.
부분합의 차로 해당 항을 확인하고, 연속한 항의 비가 같은지 확인한 뒤 공비를 결정한다.
예를 들어 S_4-S_3=a_4처럼 부분합의 차가 마지막 항을 만든다는 점을 먼저 표시하게 했다. 중간식에 필요한 항이 빠졌거나, 부분합을 항 하나처럼 취급한 흔적이 보이면 다음 계산으로 넘어가지 않고 그 줄을 지우고 관계부터 다시 세웠다. 이렇게 하자 후보를 고르는 데서 멈추지 않고, 선택한 공비가 각 항의 비와 주어진 부분합 조건을 동시에 만족하는지 연결해 쓸 수 있었다.
후보를 없앤 새 문항에서 순서를 스스로 정하다
다른 형태의 문제에서는 정답 후보가 직접 제시되지 않았다. 학생은 먼저 조건에서 필요한 부분합을 골라 항으로 바꾸고, 그 항과 다음 항의 비를 계산한 뒤, 원래 조건에 다시 대입해 공비를 확정했다. 이전처럼 계산부터 시작하지 않고 ‘조건 확인 → 항의 관계 정리 → 공비 계산 → 원조건 검산’의 순서를 직접 정했다.
마지막에는 자신이 구한 공비와 맞지 않는 값을 하나 골라 부분합 조건에 대입했다. 그 값에서는 부분합과 항의 관계가 성립하지 않아 답이 될 수 없음을 확인했고, 빠뜨린 항이 없다는 것도 역순으로 점검했다. 반례가 남지 않는지 확인하면서 공비를 단순히 후보 중 하나로 고른 것이 아니라 주어진 관계로 결정했다는 점까지 검증했다.