매곡동 광주예술고등학교 수학과외
표의 한 칸을 잘못 읽어 반지름이 달라진 순간
매곡동에서 수학 과외를 받던 학생은 광주예술고등학교 관련 학습 자료의 삼각형 문항에서 미완성 풀이의 빈칸을 채우고 있었다. 문제는 변의 길이와 그 맞은편 각을 표로 제시한 뒤 외접원의 반지름을 구하도록 구성되어 있었다. 학생은 먼저 요구되는 값을 네모로 표시하고, 표의 값에서 그 빈칸으로 이어지는 관계를 찾으려 했다.
처음에는 가능한 답을 몇 개로 줄이는 데 성공했다. 하지만 표에서 변과 마주 보는 각의 위치를 한 칸 잘못 대응시키면서 이후 계산이 계속 어긋났다. 특히 마지막에 a/sin A=2R를 사용했지만, 어떤 변과 어떤 각을 짝지어야 하는지 근거를 분명히 정리하지 못했다.
변과 맞은편 각을 다시 짝지은 과정
교정할 때는 계산부터 이어 가지 않고, 표의 각 열과 변 열을 선으로 연결해 확인했다. 변 a는 각 A의 맞은편 변이어야 하며, 따라서 a/sin A가 외접원의 지름 2R과 같다는 점을 빈칸의 앞뒤 식에 직접 표시했다. 예를 들어 a=6, A=30°라면
6/sin 30° = 2R이므로6 ÷ 1/2 = 2R, 따라서R=6이다.
이후 학생에게 같은 관계를 단순히 공식 이름으로 말하지 않고, “변의 길이를 그 변과 마주 보는 각의 사인으로 나눈 값은 외접원의 지름이 된다”라고 바꾸어 설명하게 했다. 이를 통해 식의 모양만 외운 것이 아니라 표에서 대응하는 위치를 찾아야 한다는 점까지 확인했다.
답 후보가 사라진 뒤에도 원조건으로 확인하기
새 문항에서는 앞서 보던 표와 다른 배열로 변의 길이와 각을 제시하고, 정답 후보를 미리 주지 않았다. 학생은 먼저 맞은편 관계를 표시한 뒤 a/sin A를 계산하고, 그 결과를 2R로 두어 반지름을 구했다. 마지막에는 계산된 반지름을 다시 원래의 비례식에 대입해 양변이 같은지 확인했다.
또한 최종 답이 허용되는지 원조건과 대조했다. 표에서 선택한 변과 각이 실제로 서로 마주 보는지, 반지름이 양수인지, 구한 값이 다시 a/sin A=2R를 만족하는지를 차례로 점검하면서 결론을 확정했다. 이번에는 그래프나 표의 위치를 잘못 읽은 줄을 스스로 찾아내고, 계산 결과가 아니라 대응 관계부터 바로잡아 답을 완성했다.