수완동 수완고등학교 수학과외







답 후보는 줄였지만, 구간 끝까지 해를 확인하지 못한 장면
수완동에서 수완고등학교 수학 과외를 진행하던 중, 앞 단계에서 얻은 값을 다음 식에 대입해 답을 고르는 문제가 나왔다. 핵심은 계산한 값이 아니라 cos x=k를 주어진 구간 안에서 모두 만족하는 x를 빠짐없이 찾는 일이었다.
학생은 답을 선택하기 전에 cos x=k의 해를 한 줄 덧붙였다. 예를 들어 0≤x≤2π에서 cos x=1/2라면 x=π/3, 5π/3임을 이용해 보기의 후보를 줄이는 데는 성공했다. 하지만 마지막 결론을 쓸 때는 두 값이 언제나 허용되는 것처럼 정리했고, 실제 문제의 추가 조건이 두 해 모두를 포함하는지 판단하는 데서 멈췄다.
계산한 해가 조건을 만족하는지 되짚은 이유
풀이를 지우고 새로 계산하기보다, 각 해가 왜 가능한지 조건으로 확인하게 했다. x=π/3과 x=5π/3을 원래 구간에 직접 대입해 둘 다 범위 안에 있는지 살피고, 만약 구간이 0≤x≤π로 바뀌면 5π/3은 제외된다는 반례를 만들었다. 이 과정을 통해 cos x=k의 해를 구한 뒤에는 반드시 주어진 구간과 추가 조건을 다시 대조해야 한다는 점을 확인했다.
cos x=k의 해는 공식처럼 적고 끝내는 값이 아니라, 해당 구간과 조건 안에서 실제로 허용되는 값만 남겨야 한다.
표현을 바꾼 새 문항에서 해의 개수를 직접 판정하다
이전 식을 그대로 복사하지 않도록 조건을 바꾸어 π/2≤x≤3π/2에서 cos x=-1/2을 제시했다. 학생은 단위원에서 코사인 값이 음수인 구간을 먼저 확인한 뒤, x=2π/3과 4π/3 중 주어진 범위에 들어가는 값이 모두 포함되는지 직접 판정했다. 두 값 모두 범위에 해당하므로 해를 하나만 고르지 않고 x=2π/3, 4π/3로 정리했다.
마지막에는 구간의 양 끝값을 다시 대조하고, 각 값을 원식에 넣어 코사인 값이 -1/2로 돌아오는지 확인했다. 계산 결과뿐 아니라 적용되지 않는 해까지 구별하면서, 조건에 맞는 해만 최종 답으로 남기는 과정이 정착되었는지 확인할 수 있었다.