주월동 호남삼육고등학교 수학과외
주월동에서 호남삼육고등학교 수학 과외를 받던 학생은 삼각형의 변 두 개와 그중 한 변에 마주 보는 각이 주어진 문제에서 풀이의 순서를 직접 정리해 보았다. 여러 계산 단계 가운데 언제 가능한 삼각형의 수를 따져야 하는지 표시하는 것이 목표였다.
계산은 진행했지만 빠져 있던 중간 판단
학생은 풀이를 1번부터 번호로 나누고, 두 변과 한 각이 주어진 순간에 경우를 구분하겠다고 적었다. 실제로 문제의 요구값까지 계산할 수 있었지만, 그 판단이 필요한 줄을 설명하지 않은 채 다음 단계로 넘어갔다. 그러다 선택지를 검토하면서 조건에 맞는 후보를 하나 찾자 다른 가능성을 반례로 확인하지 않고 곧바로 정답으로 확정했다.
한 후보가 보였다고 삼각형이 하나로 정해지지는 않는 경우
이 조건은 주어진 각이 두 변 사이의 끼인각인지, 한 변에 마주 보는 각인지에 따라 해석이 달라진다. 특히 두 변과 그중 한 변의 맞은편 각이 주어진 경우에는 사인 법칙으로 한 각을 구한 뒤, 그 각과 그 보각이 모두 조건에 들어갈 수 있는지 살펴야 한다. 예를 들어 sin B = 1/2라면 B=30°뿐 아니라 B=150°도 후보가 될 수 있으므로, 나머지 각의 합이 양수가 되는지 확인해야 한다.
계산으로 얻은 각 하나를 곧바로 확정하지 말고, 가능한 보각과 나머지 각의 범위를 함께 점검해야 한다.
교정 과정에서는 학생에게 ‘두 변과 한 각 조건에서 가능한 삼각형 경우를 구분한다’는 표현을 그대로 외우게 하지 않았다. 대신 “맞은편 각을 계산한 뒤 보각 후보를 만들고, 각의 합과 변의 조건을 통과하는 경우만 남긴다”라고 자신의 말로 다시 설명하게 했다. 이후 선택지에 있는 후보와 탈락한 경우를 표로 나누어, 왜 한 경우는 삼각형이 되고 다른 경우는 성립하지 않는지 직접 적었다.
정답 후보를 지운 새 문항에서 세운 순서
새 문제에서는 선택지가 제시되지 않아 학생이 먼저 풀이 순서를 정했다. 주어진 변과 각의 위치를 표시한 다음 사인 법칙으로 가능한 각을 계산하고, 보각을 포함해 나머지 각의 합을 확인한 뒤, 마지막에 변의 크기 조건과 계산 결과를 검산했다. 앞 문제처럼 눈에 보이는 후보를 선택하는 대신 조건을 통과하는 결과를 스스로 구성했다.
계산 경로를 바꿔 확인한 최종 점검
마지막에는 구한 각으로 다시 사인 법칙을 적용해 해당 변의 비가 처음 주어진 조건과 맞는지 확인했다. 이어 탈락시킨 보각을 대입했을 때 나머지 각의 합이나 변의 관계가 성립하지 않는 것도 비교했다. 다른 검산 경로에서도 같은 경우의 수와 답이 나오면서, 학생은 계산값 하나가 아니라 조건 전체를 통과하는 삼각형만 정답으로 정해야 한다는 점을 스스로 확인했다.