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운암동 서강고등학교 수학과외

넓이의 결론보다 먼저 써야 했던 높이의 관계

서강고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 같은 밑변을 가진 두 삼각형의 넓이를 비교하는 문항에서 계산부터 시작했다. 문제의 도형에서 공통인 밑변을 확인한 뒤 높이를 중간값으로 구했지만, 그 높이가 넓이 비교로 어떻게 이어지는지는 답안에 적지 않았다. 결과적으로 요구된 넓이의 대소 관계는 맞혔지만 서술형 풀이에서는 판단의 근거가 비어 있었다.

같은 밑변을 b, 두 삼각형의 높이를 각각 h₁, h₂라고 하면 넓이는 각각 ½bh₁, ½bh₂이다. 따라서 밑변이 같을 때는 공통인 ½b를 제외하고 높이만 비교하면 된다. 학생은 이 관계식을 생략한 채 “두 번째 삼각형의 넓이가 더 크다”고만 적었던 것이다.

생략된 한 줄을 찾아 서술형 풀이를 고치다

교정에서는 답을 바꾸는 대신, 결론 직전에 어떤 관계가 필요했는지를 거꾸로 추적했다. 학생은 먼저 두 삼각형의 높이를 비교한 뒤, “밑변이 같으므로 넓이의 비는 높이의 비와 같다”는 문장을 연결했다. 예를 들어 높이가 4와 7이라면 넓이는 각각 ½b×4, ½b×7이므로 두 번째 넓이가 더 크다고 적는 방식이다.

이후에는 앞서 사용한 계산 순서를 그대로 반복하지 않고, 넓이의 차를 이용해 같은 결론을 확인했다. 두 넓이의 차는 ½b(h₂-h₁)이므로, 공통 밑변과 h₂-h₁>0이라는 사실만으로 두 번째 삼각형의 넓이가 크다는 것을 재확인했다. 이 검산을 통해 중간 판단을 답안에 포함해야 결론의 논리가 완성된다는 점을 확인했다.

표현이 바뀐 도형에서도 관계식을 직접 세우다

새 문항에서는 이전의 식이나 숫자를 보여 주지 않고, 한 삼각형의 밑변만 같게 유지한 채 높이와 도형의 표현을 바꾸었다. 학생은 도형의 위치나 기울기가 달라져도 실제 높이는 같은 밑변에 수직인 거리라는 점을 먼저 확인한 뒤, 두 넓이를 각각 ½bh₁, ½bh₂로 나타냈다. 그리고 높이의 대소에 따라 넓이의 대소가 결정된다는 관계를 스스로 작성했다.

같은 밑변을 가진 삼각형에서는 밑변의 길이보다 그 밑변에 대응하는 높이의 비교가 넓이 비교를 결정한다.

마지막에는 특정 답을 고르는 대신, “밑변이 같다는 조건이 사라지면 높이만으로 넓이를 비교할 수 있는가?”를 점검하게 했다. 학생은 두 넓이의 식에서 밑변까지 달라지면 ½b가 더 이상 공통 인수가 아니므로 높이만 비교해서는 안 된다고 설명했다. 이를 통해 같은 밑변이라는 성립 조건과, 중간 관계식을 반드시 밝혀야 한다는 서술 원칙을 함께 검증했다.

학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위

현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

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이미 배운 내용과 실제 수강 과목에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율합니다.

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고등 과외 수업료

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학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

운암동 수학과외 수업 후기

방학 중 다른 교재를 보던 오전에도 아이는 함수 문제의 식과 그래프를 책상 위에 나란히 펼쳐 놓고 있었습니다. 예전에는 문제를 풀고 나면 맞았는지 틀렸는지를 표시하는 데서 끝나는 경우가 많았는데, 그날만큼은 두 자료가 같은 조건을 나타내는지 한참 대조하더라고요. 필요한 부분에만 간단히 흔적을 남긴 뒤 정리하는 모습도 보였어요. 운암동 수학과외를 알아보며 집에서 공부하는 모습을 종종 살피게 됐는데, 학교에서 돌아와 책을 펴던 오후의 장면이 특히 기억에 남습니다. 공부가 끝난 줄 알았는데 아이가 함수 문제의 그래프를 다시 그려 식과 맞춰 보고 있더라고요. 식만 보고 넘어가지 않고 그래프까지 확인한 뒤에야 다음 문제로 넘어갔습니다. 예전 표시와 달리 풀이 과정에서 무엇을 확인했는지가 남아 있었습니다.

★★★★★수업 후기

자료를 챙기다가 아이가 펼쳐 둔 수열 문제를 봤는데, 항 번호와 값을 한 줄에 섞지 않고 따로 적어 둔 흔적이 있더라고요. 두 항 사이가 얼마나 떨어져 있는지 먼저 살핀 듯한 표시도 같이 보였어요. 전에는 어려운 부분을 만나도 다음에 다시 볼 곳을 따로 남겨 두는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 번호와 값을 나눠 적은 뒤 간격부터 확인하고 있었습니다. 운암동 수학과외를 찾아보며 여러 자료를 정리하던 때라 더 눈에 들어왔어요. 수업 전 질문 표시를 살펴볼 때도 같은 방식으로 수열의 항 번호와 값을 구분해서 적어 두었어요. 확인한 부분에는 지우지 않고 그 자리의 흔적을 그대로 남겨 두었고요.

★★★★☆수업 후기

아이는 평소 자기 풀이를 설명하거나 모르는 것을 묻는 데 서툴렀는데, 운암동에서 수업을 시작한 뒤 선생님이 진도를 잠시 멈추고 기초 문제와 복습부터 차분히 점검해 주셨습니다. 답을 바로 알려주기보다 생각을 정리할 기준을 주고 오늘 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 집에서도 숙제를 덜 막막해했습니다. 시험기간에도 해야 할 양을 스스로 나누어 받아들이고 질문하는 모습이 조금씩 보였습니다.

★★★★★수업 후기

시험 범위를 처음 확인한 날에도 예전처럼 수학 숙제를 미루지 않고, 평일 저녁 책을 펼쳐 막힌 부분을 표시해 두었습니다. 운암동 수업에서는 선생님이 답을 재촉하지 않고 생각할 시간을 충분히 주셔서, 틀리는 모습을 걱정하던 저도 질문을 준비해 가게 됐습니다. 요즘은 수업 있는 날을 전보다 덜 부담스럽게 느낍니다.

★★★★★수업 후기

운암동 수업이 늦게 끝난 날에도 선생님은 아이가 준비한 내용을 차분히 확인해 주셨습니다. 문제 수가 많으면 답지부터 보던 아이에게 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 짧게 나눠 주셔서, 질문도 부담 없이 하게 됐습니다. 주말 계획이 밀려도 스스로 다시 조정해 이어가는 모습이 보입니다.

★★★★★수업 후기