운암동 서강고등학교 수학과외
넓이의 결론보다 먼저 써야 했던 높이의 관계
서강고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 같은 밑변을 가진 두 삼각형의 넓이를 비교하는 문항에서 계산부터 시작했다. 문제의 도형에서 공통인 밑변을 확인한 뒤 높이를 중간값으로 구했지만, 그 높이가 넓이 비교로 어떻게 이어지는지는 답안에 적지 않았다. 결과적으로 요구된 넓이의 대소 관계는 맞혔지만 서술형 풀이에서는 판단의 근거가 비어 있었다.
같은 밑변을 b, 두 삼각형의 높이를 각각 h₁, h₂라고 하면 넓이는 각각 ½bh₁, ½bh₂이다. 따라서 밑변이 같을 때는 공통인 ½b를 제외하고 높이만 비교하면 된다. 학생은 이 관계식을 생략한 채 “두 번째 삼각형의 넓이가 더 크다”고만 적었던 것이다.
생략된 한 줄을 찾아 서술형 풀이를 고치다
교정에서는 답을 바꾸는 대신, 결론 직전에 어떤 관계가 필요했는지를 거꾸로 추적했다. 학생은 먼저 두 삼각형의 높이를 비교한 뒤, “밑변이 같으므로 넓이의 비는 높이의 비와 같다”는 문장을 연결했다. 예를 들어 높이가 4와 7이라면 넓이는 각각 ½b×4, ½b×7이므로 두 번째 넓이가 더 크다고 적는 방식이다.
이후에는 앞서 사용한 계산 순서를 그대로 반복하지 않고, 넓이의 차를 이용해 같은 결론을 확인했다. 두 넓이의 차는 ½b(h₂-h₁)이므로, 공통 밑변과 h₂-h₁>0이라는 사실만으로 두 번째 삼각형의 넓이가 크다는 것을 재확인했다. 이 검산을 통해 중간 판단을 답안에 포함해야 결론의 논리가 완성된다는 점을 확인했다.
표현이 바뀐 도형에서도 관계식을 직접 세우다
새 문항에서는 이전의 식이나 숫자를 보여 주지 않고, 한 삼각형의 밑변만 같게 유지한 채 높이와 도형의 표현을 바꾸었다. 학생은 도형의 위치나 기울기가 달라져도 실제 높이는 같은 밑변에 수직인 거리라는 점을 먼저 확인한 뒤, 두 넓이를 각각 ½bh₁, ½bh₂로 나타냈다. 그리고 높이의 대소에 따라 넓이의 대소가 결정된다는 관계를 스스로 작성했다.
같은 밑변을 가진 삼각형에서는 밑변의 길이보다 그 밑변에 대응하는 높이의 비교가 넓이 비교를 결정한다.
마지막에는 특정 답을 고르는 대신, “밑변이 같다는 조건이 사라지면 높이만으로 넓이를 비교할 수 있는가?”를 점검하게 했다. 학생은 두 넓이의 식에서 밑변까지 달라지면 ½b가 더 이상 공통 인수가 아니므로 높이만 비교해서는 안 된다고 설명했다. 이를 통해 같은 밑변이라는 성립 조건과, 중간 관계식을 반드시 밝혀야 한다는 서술 원칙을 함께 검증했다.