일곡동 광주숭일고등학교 수학과외
표의 한 칸이 삼각형 넓이를 바꾼 순간
광주숭일고등학교 학생은 좌표평면에 표시된 세 점을 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제에서 서로 다른 두 풀이를 가져왔다. 두 결과 중 어느 것이 맞는지 바로 계산값만 비교하지 않고, 각 풀이를 나란히 놓은 뒤 행렬식의 각 자리에 어떤 좌표가 들어갔는지 줄마다 대조했다.
처음 차이가 난 곳은 그래프와 표를 옮겨 적는 단계였다. 학생은 두 번째 점의 세로좌표를 한 칸 아래 값으로 읽어 행렬식의 대응 위치에 잘못 배치했고, 그 뒤의 전개와 절댓값 계산은 일관되게 진행했지만 출발점이 틀려 넓이도 달라졌다. 여백에 표시한 화살표만 따라가던 상태에서, 좌표를 원래 표와 다시 맞춰 보며 오류가 시작된 줄까지 되돌아갔다.
행렬식 전개를 멈추고 벡터로 다시 맞춘 계산
이번에는 앞서 사용한 전개 순서를 그대로 반복하지 않고, 한 점을 기준으로 나머지 두 점까지의 이동량을 먼저 구하게 했다. 세 점이 \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\)일 때
삼각형의 넓이는 \(\frac12\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)\right|\)로 확인한다.
학생은 먼저 \(A\)에서 \(B\), \(A\)에서 \(C\)로 향하는 두 벡터를 각각 적고, 가로·세로 성분의 대응 위치를 확인한 뒤 두 곱의 차를 계산했다. 그 결과는 후보 풀이 중 좌표를 올바르게 읽은 식과 일치했다. 단순히 답이 같다는 이유가 아니라, 잘못 옮긴 좌표를 사용하면 벡터의 성분 자체가 달라진다는 점까지 확인한 것이다.
표현이 바뀐 좌표에서의 독립 적용
이후에는 같은 식을 복사할 수 없도록 세 점을 직접 나열하지 않고, 한 점을 원점으로 옮긴 관계식과 다른 형태의 좌표 표현을 제시했다. 학생은 기준점을 새로 정한 뒤 두 변의 성분을 직접 만들고, \(\frac12|ad-bc|\) 꼴로 넓이를 구성했다. 처음 문제의 행렬식 배열을 베끼지 않고도 좌표의 순서와 대응 관계를 스스로 세워 계산했다.
마지막에는 계산 문제가 아닌 판정으로 확인했다. 학생은 세 점을 어떤 순서로 넣어도 절댓값을 취하면 넓이는 같고, 세 점이 한 직선 위에 있으면 행렬식 값이 0이 된다고 설명했다. 또한 표에서 좌표 하나를 잘못 읽으면 이후 전개가 아무리 정확해도 다른 삼각형의 넓이를 계산하게 된다는 점을 짚으며, 이 공식이 성립하려면 각 좌표가 행렬식의 위치와 정확히 대응해야 한다고 정리했다.