풍향동 광주동신고등학교 수학과외
후보는 줄였지만 원의 식을 확정하지 못한 순간
풍향동에서 수학 과외를 받는 학생은 문자와 수치가 함께 제시된 원의 조건을 보고, 곧바로 숫자를 대입하지 않았다. 먼저 중심을 \((a,b)\), 반지름을 \(r\)로 두고 주어진 관계를 식으로 옮긴 뒤 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)의 형태에 맞춰 후보를 정리했다.
이 과정에서 가능한 답을 몇 개로 좁히는 데에는 성공했지만, 마지막 선택에서는 식이 실제 조건을 모두 만족하는지 확인하는 근거가 부족했다. 선택지 검토 중 중심과 반지름에 맞아 보이는 후보를 찾은 뒤, 다른 조건에서 성립하지 않는 반례를 확인하지 않고 정답으로 확정한 것이 오류의 시작이었다.
중심 조건과 반지름 조건을 따로 확인한 풀이
교정할 때는 문제의 조건을 한 줄에 섞어 두지 않고 두 칸으로 나누었다. 한 칸에는 중심이 \((a,b)\)가 되는지, 다른 칸에는 반지름이 \(r\)이 되는지를 기록하게 했다. 이후 각각의 후보를 식에 대입해 중심 조건과 반지름 조건을 별도로 계산했다.
원의 표준형에서는 중심이 \((a,b)\), 반지름이 \(r\)이므로 두 조건을 모두 만족해야 식이 확정된다.
이렇게 확인하자 중심만 맞는 후보와 반지름까지 맞는 후보의 차이가 분명해졌다. 학생은 답을 고르기 전에 각 조건을 통과했는지 표시하고, 하나라도 맞지 않으면 후보에서 제외하는 순서를 사용했다.
선택지를 없앤 새 문항에서 직접 확정한 식
다음에는 선택지가 없는 문항으로 바꾸어 계산 순서를 학생이 정했다. 먼저 관계식에서 중심을 찾고, 이어 반지름을 결정한 다음, 두 값을 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)에 넣었다. 마지막에는 원래 조건을 다시 대입해 중심과 반지름이 모두 일치하는지 검산했다.
최종 확인에서는 단순히 답을 다시 읽지 않고, 중심 조건만 바꾸었을 때 식이 달라지는지와 반지름 조건을 바꾸었을 때 결과가 달라지는지를 비교했다. 그 결과 반례가 남아 있는 후보는 즉시 제외하고, 두 조건을 동시에 만족하는 식만 최종 답으로 남겼다.