광주남구 광주동성고등학교 수학과외
기울기 곱을 계산하기 전에 확인한 두 직선의 형태
광주동성고등학교 학생은 광주남구에서 풀어 온 좌표기하 문제에서 두 직선이 수직인지 판단해야 했다. 수치가 달라진 새 문항을 보며 중간식 옆에 두 직선의 기울기와 곱을 따로 적었지만, 곱이 -1인지 확인하는 것만으로 충분한지에서 풀이가 멈췄다.
예를 들어 기울기가 2와 -1⁄2인 두 직선은 곱이 -1이므로 수직 관계를 판단할 수 있다. 그러나 한 직선이 수직선이면 기울기가 정의되지 않으므로 기울기 곱을 계산할 수 없다. 이때는 다른 직선이 수평선인지 좌표나 식의 형태로 직접 확인해야 한다.
곱이 -1이어도 바로 답으로 고르지 못한 이유
학생은 선택지 중 기울기 3과 -1⁄3을 가진 쌍을 찾아 수직이라고 표시했다. 하지만 다른 후보가 수직선과 수평선의 관계를 나타내는 경우까지 비교하지 않은 채 첫 번째 후보를 정답으로 확정했다. 곱이 -1이라는 조건은 두 기울기가 모두 존재할 때의 판정 기준인데, 적용 범위를 확인하지 않은 것이 오류가 시작된 지점이었다.
교정할 때는 ‘두 직선의 기울기가 정의되고 그 곱이 -1이면 수직’이라는 문장을 ‘한 직선의 방향이 수평이고 다른 직선의 방향이 수직인 경우도 수직 관계로 판단한다’는 표현으로 바꾸어 설명하게 했다. 이후 계산 전에 수직선 여부와 수평선 여부를 먼저 표시하고, 기울기 곱을 사용할 수 있는 상황인지 구분하도록 했다.
식의 모양을 바꾼 문항에서 다시 만든 관계식
다음 문제에서는 기존 숫자나 식을 복사하지 않고, 한 직선의 기울기가 4가 되도록 직접 관계식을 세운 뒤 다른 직선의 기울기를 -1⁄4로 정했다. 학생은 두 값의 곱이 -1인지 계산한 다음, 두 기울기가 모두 정의되어 있다는 조건까지 확인해 수직임을 판단했다. 이어 한 직선이 y=5처럼 수평선으로 주어진 경우에는 기울기 곱 대신 다른 직선이 x=2와 같은 수직선인지 살폈다.
기울기 곱이 -1이라는 판정은 기울기가 정의되는 두 직선에 적용하며, 수평선과 수직선은 방향으로 확인한다.
마지막에는 같은 결론을 다른 경로로 검산했다. 기울기 4와 -1⁄4를 갖는 두 직선의 방향벡터를 각각 (1, 4), (4, -1)로 놓고 내적을 계산하자 1×4+4×(-1)=0이 되었다. 학생은 후보를 고르는 데서 멈추지 않고 기울기의 정의 가능 여부와 방향벡터 검산까지 연결해, 조건의 적용 범위를 스스로 판별했다.