용봉동 광주경신여자고등학교 수학과외
답 후보를 줄인 뒤 마지막 조건에서 멈춘 이유
광주경신여자고등학교 학생은 용봉동에서 진행한 수업에서 삼각형의 세 변이 주어진 문항을 풀며 식 옆에 ‘코사인법칙으로 존재 여부 확인’이라고 적었다. 먼저 코사인법칙에 수치를 대입해 가능한 답을 줄이는 데까지는 빠르게 진행했지만, 계산 결과가 실제 삼각형을 보장하는지 결론으로 연결하는 부분에서 풀이가 끊겼다.
예를 들어 세 변이 3, 4, 5라면 가장 긴 변을 기준으로
cos A = (3² + 4² - 5²) / (2·3·4) = 0
이므로 A는 허용되는 각이다. 하지만 계산값만 얻고 끝내면 안 되며, 세 변 자체가 삼각형을 만들 수 있는지도 함께 확인해야 한다. 학생은 이 두 판단을 한 줄의 계산처럼 처리하면서 마지막 답을 확정하지 못했다.
코사인값과 변의 조건을 따로 적은 교정
수업에서는 노트를 두 칸으로 나누었다. 왼쪽에는 세 변이 삼각형을 이루는지, 오른쪽에는 코사인법칙으로 나온 값이 -1 이상 1 이하인지 적게 했다. 세 변이 3, 4, 8인 경우에는 3+4가 8보다 작으므로 이미 삼각형이 될 수 없다. 실제로 8을 마주 보는 각을 계산하면
cos A = (3² + 4² - 8²) / (2·3·4) = -39/24
가 되어 코사인값의 범위도 벗어난다. 반대로 3, 4, 5에서는 세 변의 관계가 성립하고 코사인값도 0으로 허용된다. 학생은 두 조건을 같은 것으로 뭉뚱그리지 않고 각각 확인한 뒤 결론을 쓰기 시작했다.
후보가 사라진 새 문항에서 순서를 직접 정하다
이후에는 선택지를 먼저 비교하지 않고, 주어진 세 변의 크기를 살핀 다음 삼각형 조건을 확인하고 코사인법칙을 적용하는 순서를 학생이 직접 정했다. 계산 결과가 나오면 -1과 1 사이인지 다시 점검하고, 삼각형이 존재하지 않는 경우에는 각을 구하는 단계로 넘어가지 않았다.
코사인법칙의 계산값만 보는 것이 아니라, 세 변의 관계와 코사인값의 허용 범위를 함께 확인해야 삼각형의 존재 여부를 판단할 수 있다.
마지막에는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 자신이 얻은 코사인값이 허용 범위에 들어오는지 확인한 뒤, 그 값이 성립할 수 있는 세 변인지 다시 거슬러 올라가 점검했다. 적용되지 않는 경우에는 계산 결과를 억지로 각도로 해석하지 않고 ‘삼각형이 존재하지 않는다’고 구분해 최종 답을 완성했다.