장덕동 성덕고등학교 수학과외
최댓값이 나타난 자리에서 위상상수를 거꾸로 읽은 풀이
성덕고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 삼각함수 그래프의 최댓값 위치가 주어진 문항에서 중간식 옆에 필요한 값을 따로 적어 두었다. 처음에는 이 표시를 활용해 위상상수의 후보를 빠르게 좁혔지만, 후보가 결정되는 기준이 바뀌는 지점에서 풀이의 근거를 다시 세우지 못했다.
후보를 찾은 뒤 반례를 확인하지 않은 장면
학생은 그래프의 최댓값이 나타나는 입력값과 함수식의 기준 위치를 비교해 위상상수에 맞는 선택지를 골랐다. 그러나 같은 최댓값 위치를 만들 수 있는 주기적 표현이 있는지, 선택지의 다른 조건까지 함께 만족하는지는 확인하지 않았다. 결국 최댓값 위치와는 맞아 보이는 후보를 정답으로 확정했지만, 나머지 조건을 대입하면 그래프의 위치가 달라지는 선택지였다.
교정할 때는 단순히 계산 순서를 다시 외우게 하지 않고, “최댓값이 되는 입력값을 함수 내부의 각도로 바꾸어 놓고, 그 각도가 최댓값 각도와 일치하도록 위상상수를 결정한다”는 관계를 다른 말로 설명하게 했다. 최댓값 위치 하나는 후보를 좁히는 근거이지, 다른 조건을 생략해도 되는 확정 근거는 아니라는 점도 함께 확인했다.
최댓값의 입력값을 함수 내부의 각도가 최댓값을 이루는 위치로 연결한 뒤, 주기성을 고려해 위상상수의 후보를 판정한다.
표현이 바뀐 식에서 관계식을 직접 세운 과정
이후에는 기존 식을 그대로 보여 주지 않고, 최댓값 위치에 대한 조건 하나만 유지한 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 최댓값이 발생한 입력값을 표시하고, 함수 안의 각도와 그 위치의 관계를 직접 식으로 만들었다. 그런 다음 주기 때문에 생기는 가능한 값을 정리하고, 나머지 조건을 대입해 후보를 걸러 냈다.
이번에는 이전 풀이의 식을 복사하지 않고도 최댓값 위치에서 출발해 위상상수를 결정했다. 특히 최댓값 조건만 맞는 후보를 바로 선택하지 않고, 다른 조건을 만족하지 않는 반례를 직접 찾아 제외했다.
수치 없이 확인한 최종 판단
마지막에는 특정 수치나 선택지 없이, 함수의 최댓값 위치가 주어졌을 때 위상상수를 어떻게 정하는지 역순으로 설명하게 했다. 학생은 먼저 최댓값을 만드는 함수 내부의 각도를 정하고, 주어진 입력값과 비교해 위상상수의 관계를 세운 뒤, 주기성과 추가 조건을 점검해야 한다고 정리했다. 계산 결과보다 먼저 최댓값 위치와 내부 각도의 대응을 확인하는 판단 기준이 자리 잡았는지 검증한 장면이었다.