가좌동 가좌고등학교 수학과외
끝점에서 달라진 최솟값을 놓친 선택지
가좌동에서 진행한 한 수업에서 학생은 절댓값이 포함된 함수의 구간 최적값을 묻는 문항을 풀며 그래프 위에 꼭짓점과 구간의 양 끝 위치를 표시했다. 표시한 덕분에 가능한 답의 범위는 빠르게 줄였지만, 마지막 선택지를 고를 때 각 후보가 실제로 최댓값이나 최솟값이 되는 이유를 식으로 정리하지는 못했다.
반례 하나가 바꾼 결론
선택지 검토 과정에서 학생은 절댓값 안의 식이 0이 되는 점을 기준으로 그래프가 바뀐다는 점은 알고 있었다. 그러나 한 후보가 구간 안에서 가장 적절해 보이자, 구간 끝점에서 함수값이 더 커지거나 작아지는지 다시 대입하지 않고 정답으로 확정했다. 결국 절댓값 함수에서는 꼭짓점만 비교하면 된다는 식으로 판단한 것이 오류의 시작이었다.
교정할 때는 먼저 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 구간과 비교하게 했다. 그다음 구간 안의 분할점과 양 끝점을 모두 함수에 대입하고, 각 값을 표로 나란히 적었다. 예를 들어 f(x)=|x-2|를 1≤x≤4에서 비교한다면 x=2뿐 아니라 x=1, x=4에서의 함수값도 함께 확인해야 한다. 이렇게 계산하면 최솟값은 f(2)=0, 최댓값은 끝점에서 각각 1, 2를 비교해 결정된다.
절댓값이 포함된 함수의 구간 최적값은 그래프의 모양만 보는 것이 아니라, 구간 안의 분할점과 양 끝점에서 얻은 함수값을 함께 비교해 판단한다.
표현이 바뀐 새 조건에서 직접 만든 관계식
이후에는 기존 식을 그대로 보여 주지 않고, 구간의 한 조건만 유지한 새 문항을 제시했다. 학생은 절댓값의 중심이 되는 값을 먼저 찾은 뒤, 바뀐 구간의 양 끝값과 그 점에서의 함수값을 직접 계산했다. 이전 풀이의 숫자를 옮겨 적는 대신 비교할 후보를 스스로 구성하면서, 구간 최적값을 정하는 절차를 새로운 형태에도 적용했다.
결론을 역순으로 점검한 풀이
마지막에는 학생에게 선택한 최댓값 또는 최솟값이 왜 맞는지 결과에서 출발해 설명하게 했다. 해당 값이 되려면 어떤 후보들을 비교해야 했는지, 절댓값이 0이 되는 위치가 구간에 포함되는지, 양 끝점 중 어느 값이 더 큰지를 역순으로 짚었다. 이 과정에서 반례가 될 수 있는 끝점의 함수값을 빠뜨리지 않았고, 계산 결과와 최종 결론 사이의 논리도 직접 확인할 수 있었다.