부평구 제일고등학교 고2수학과외
제일고등학교 고2수학과외, 달라진 조건 속에서 극대·극소의 범위를 다시 읽다
부평구 생활권에서 진행한 제일고등학교 고2수학과외 수업에서 학생은 증가·감소표와 극대·극소를 함께 판단하는 문제를 만났다. 문제에는 함수의 변화 방향을 확인할 수 있는 조건들이 제시되어 있었지만, 중간 조건 하나가 비어 있었고 일부 조건은 기본 문제와 다르게 바뀌어 있었다. 단순히 표의 부호를 따라가는 것이 아니라, 기존 관계를 어디까지 적용할 수 있는지 새로 정해야 하는 문항이었다.
학생은 계산에 들어가기 전, 조건이 바뀐 증가·감소표와 극대·극소 문제에서 기존 관계의 적용 한계를 다시 설정해야 한다는 기준을 적었다. 이어 관련된 값과 식에 동그라미를 치며 문제에서 직접 바뀐 부분을 표시했다. 출발점은 적절했지만, 표시한 조건을 이후 풀이 전체에 연결하는 과정에서 기준이 흔들렸다.
기본형과 변형 조건을 같은 범위로 본 답안
첫 답안에서 학생은 변형된 조건을 기본형의 조건과 같은 범위로 처리했다. 증가와 감소가 바뀌는 지점을 살피면서도, 새로 제시된 조건이 영향을 미치는 부분을 따로 제한하지 않아 답의 범위를 넓게 잡은 것이다. 오류는 계산 자체보다 조건의 적용 범위에서 생겼다. 처음 적어 둔 판단 기준이 있었지만, 실제 답안을 정리할 때에는 그 기준을 끝까지 반영하지 못했다.
교정에서는 다른 개념을 끌어오지 않고 조건의 적용 범위만 다시 확인했다. 학생은 증가·감소표의 기본 조건과 문제에서 바뀐 조건을 두 줄로 나누어 적었다. 두 줄을 나란히 놓자 어느 관계가 유지되고 어느 관계가 달라졌는지가 분리되어 보였다. 이어 달라진 조건이 영향을 주는 계산 단계만 다시 고쳤고, 그에 맞춰 답의 범위를 다시 정했다. 표 전체를 처음부터 다시 계산한 것이 아니라, 변형 조건이 닿는 부분만 바로잡았다.
기본 조건이 유지되는 구간과 새 조건이 적용되는 구간을 같은 것으로 둘 수 없었다.
며칠 뒤에는 수치 대신 문자 조건이 들어간 변형 문항을 풀었다. 이번에는 앞서 작성한 답안이나 표시를 보지 않고, 문제의 조건을 읽은 뒤 증가·감소표와 극대·극소의 관계가 어디까지 이어지는지 스스로 판단했다. 이전 문항과 달리 조건의 표현 방식이 바뀌고 계산에 사용되는 값도 문자로 제시되었지만, 학생은 먼저 변형된 조건을 분리한 뒤 그 조건이 영향을 주는 계산 단계만 선택했다. 답의 범위도 기본형을 그대로 옮기지 않고 새 조건에 맞춰 정리했다.
표와 그래프를 서로 대조한 마무리
답안을 마친 뒤에는 계산 결과만 확인하지 않았다. 증가·감소표에서 부호가 바뀌는 위치를 다시 살피고, 그 위치가 함수 그래프에서 극대 또는 극소가 나타나는 위치와 맞는지 대응했다. 표의 변화와 그래프의 위치가 서로 어긋나지 않자, 문자 조건을 적용해 정한 답의 범위가 문제의 변형 조건과도 일치한다는 것을 확인할 수 있었다.
제일고등학교 고2수학과외에서 남은 기록은 ‘조건을 읽었다’는 데 그치지 않았다. 학생의 풀이에는 기본 관계와 바뀐 관계를 분리한 흔적이 남았고, 마지막에는 증가·감소표의 부호 변화와 그래프의 극대·극소 위치가 같은 판단을 가리키고 있었다.