산곡동 세일고등학교 수학과외
도함수가 0인 점에서 멈춘 풀이
세일고등학교 학생은 산곡동에서 진행한 수학과외 시간에 도함수가 0이라는 조건이 극값의 존재를 바로 뜻하는지 구별하는 문제를 풀었다. 문제의 핵심은 비슷하게 보이는 두 사례 중 실제 극댓값이나 극솟값이 생기는 경우를 판단하는 것이었다.
학생은 중간식 옆에 f'(a)=0을 적고, 필요한 판단값도 따로 기록했다. 그러나 계산 결과와 극값 여부를 구분하지 못해 f'(a)=0이면 극값이라고 결론 내리려 했다. 예를 들어 f(x)=x^3은 f'(0)=0이지만 0의 양쪽에서 함수값이 증가하는 방향이 바뀌지 않으므로 극값이 아니다.
결론만 맞고 근거가 비어 있던 서술형
서술형 답안에서는 극값이 아니라는 결과를 적었지만, 그 결론을 뒷받침하는 관계식을 빠뜨렸다. 따라서 답만 보면 방향은 맞아도, 도함수의 부호 변화나 함수의 증가·감소 관계를 확인한 과정이 없어 논리가 끊긴 상태였다.
f'(a)=0은 극값의 필요조건일 수 있지만, 그 자체만으로 극댓값이나 극솟값을 확정하지는 않는다.
판단에 필요한 관계식만 다시 세운 연습
교정할 때는 풀이를 보지 않고 먼저 f'(a)=0을 확인한 뒤, 그 점의 양쪽에서 도함수 부호가 바뀌는지 한 줄씩 적게 했다. 부호가 음수에서 양수로 바뀌면 극솟값, 양수에서 음수로 바뀌면 극댓값이며, 부호 변화가 없으면 극값으로 단정하지 않도록 정리했다. f(x)=x^2에서는 f'(x)=2x가 음수에서 양수로 바뀌어 0에서 극솟값이 생기지만, f(x)=x^3에서는 f'(x)=3x^2가 양쪽 모두 음수가 아니므로 극값이 생기지 않는다.
새 식에서도 먼저 부호 변화를 만든 학생
이후에는 이전 식을 복사하지 않고 g(x)=x^5와 같은 새로운 표현을 직접 살펴보았다. g'(0)=0이지만 도함수 g'(x)=5x^4는 0의 양쪽에서 음수로 바뀌지 않으므로 극값이 아니라고 판단했다. 반대로 h(x)=x^4에서는 h'(x)=4x^3의 부호가 음수에서 양수로 바뀌어 극솟값임을 구별했다.
마지막에는 도함수가 0인 점만 제시된 경우와 실제로 부호 변화가 확인되는 경우를 나누어 설명하게 했다. 학생은 적용되지 않는 사례까지 함께 비교하면서, 계산 결과 하나가 아니라 그 결과를 만든 도함수의 부호 관계가 극값 판단의 근거임을 확인했다.