남동구 문일여자고등학교 수학과외







치환한 뒤에도 x의 구간을 그대로 둘 수 있을까
문일여자고등학교 학생은 정적분 치환 문제가 여러 단계로 이어지자 풀이 순서를 먼저 번호로 정리했다. 특히 새로운 변수로 바꾸는 단계를 어디에 둘지 스스로 표시했지만, 실제 계산에서는 치환식만 바꾸고 적분구간은 원래의 x값으로 남겨 두어도 되는지 판단이 흔들렸다.
처음에는 여백에 ‘u를 정한 뒤 식을 바꾼다’고 적어 두었다. 그런데 풀이 도중 적분구간을 바꾸어야 하는 경우와 마지막에 다시 x로 돌아와 계산하는 경우를 구분하는 기준이 달라지면서, 앞에서 세운 순서를 버리고 해당 줄부터 다시 시작했다. 선택지 중에는 u=x²+1로 놓은 뒤 구간을 그대로 0부터 1까지 두는 풀이도 있었고, 학생은 나머지 계산이 자연스럽다는 이유로 이를 맞는 방법처럼 판단했다.
구간을 바꾸지 않은 선택지가 무너진 반례
교사는 짧은 반례로 선택지를 점검하게 했다. 예를 들어
∫₀¹ 2x/(x²+1) dx
에서 u=x²+1로 치환하면 du=2x dx이고, x가 0일 때 u는 1, x가 1일 때 u는 2가 된다. 따라서 적분은 ∫₁² 1/u du로 바뀌어야 한다. 구간을 0부터 1까지 그대로 쓰면 새로운 변수 u에 맞지 않는 값을 대입하게 된다. 학생은 이 반례를 직접 대입해 두 선택지의 결과가 달라지는 것을 확인하면서, 치환 뒤에는 적분식뿐 아니라 양 끝값의 변수도 함께 바꾸어야 한다는 점을 구별했다.
치환한 변수로 적분을 끝까지 계산하려면, 원래 변수의 양 끝값을 치환식에 넣어 새 변수의 구간으로 바꾼다.
표현이 달라진 문제에서 새 구간을 직접 만들다
이후에는 앞의 식을 다시 보여 주지 않고, ∫₁² 3x²/(x³+4) dx를 제시했다. 학생은 이번에는 u=x³+4, du=3x²dx를 직접 세운 뒤 x=1에서 u=5, x=2에서 u=12를 계산했다. 그래서 원래 적분을 ∫₅¹² 1/u du로 바꾸었고, 이전 풀이의 숫자나 구간을 복사하지 않고 새로운 관계식에서 끝값을 구성했다.
마지막에는 구간을 바꾸지 않은 풀이를 일부러 다시 적고, 어느 줄에서 변수와 구간의 대응이 끊기는지 찾아냈다. 이어 치환식을 되돌렸을 때 양 끝값이 각각 원래의 1과 2에 대응하는지도 확인했다. 학생은 단순히 정적분의 구간을 바꾼다고 말하는 데 그치지 않고, 치환식이 양 끝점에 적용되어야 하며 변환된 적분을 새 변수로 계산할 때 그 구간을 사용해야 한다는 성립 조건을 스스로 설명했다.
학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위
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고등 수학
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