산곡동 명신여자고등학교 수학과외
산곡동에서 진행한 한 수업에서 학생은 미지수가 포함된 함수의 조건을 좁히는 선택형 문제를 풀고 있었다. 핵심은 도함수의 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 지점이 극대점이 된다는 사실이었다.
후보를 남기는 것과 극대 조건을 확인하는 것은 달랐다
학생은 먼저 미지수가 가질 수 있는 값을 모두 적은 뒤, 부호 변화가 +에서 -로 나타나는 경우만 남겼다. 그러나 그 결과를 다음 계산의 근거로 사용할 때는 다소 불안정했다. 선택지 중 조건에 맞아 보이는 값을 찾은 뒤, 그 값이 실제로 모든 조건을 만족하는지 끝까지 점검하지 않았기 때문이다.
결국 학생은 극대점 후보를 찾았지만, 한 선택지를 반례로 확인하지 않은 채 정답으로 확정했다. 해당 값에서는 특정 구간의 도함수 부호가 예상과 다르게 유지되거나, 경계에서 부호 변화가 일어나지 않을 가능성이 있었다.
후보를 지우는 대신 허용되지 않는 이유를 확인하다
교정할 때는 틀린 값을 단순히 삭제하지 않았다. 그 값을 대입했을 때 도함수가 극대점의 양옆에서 어떤 부호를 갖는지 직접 비교하게 했다. 왼쪽에서 양수, 오른쪽에서 음수가 되어야 하는데 부호가 그대로 유지되거나 반대로 바뀐다면 그 값은 극대점 조건을 충족하지 못한다는 점을 반례로 확인했다.
극대점은 후보값을 찾는 것만으로 결정되지 않고, 해당 지점 전후의 도함수 부호가 실제로 +에서 -로 바뀌는지 확인해야 한다.
이후에는 선택지를 볼 때 먼저 가능한 범위를 정한 뒤, 각 후보를 도함수 부호표에 대입하고, 경계값과 제외되는 값까지 따로 표시했다. 계산 결과가 조건과 맞지 않으면 그 값을 정답 후보에서 제거하는 근거도 함께 적었다.
정답 후보가 사라진 문항에서 순서를 스스로 정하다
새 문제에서는 앞서 보았던 정답 선택지를 일부러 제외하고, 다른 조건이 주어진 문항을 제시했다. 학생은 먼저 미지수의 가능한 범위를 계산한 다음, 도함수의 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 후보만 추렸다. 이어 각 후보의 양옆 부호를 확인하고, 경계에서 부호 변화가 성립하는지도 검산한 뒤 최종 답을 정했다.
마지막에는 특정 후보를 포함했을 때와 제외했을 때 극대점의 조건이 어떻게 달라지는지 비교하게 했다. 학생은 오류가 시작된 지점을 단순 계산 실수가 아니라 부호 변화 확인을 생략한 단계로 찾아냈고, 경계나 예외값이 최종 범위에 포함되는지도 스스로 판정했다.