동춘동 인천대건고등학교 수학과외
인천대건고등학교 학생은 선택지의 여러 식을 계산으로 밀어붙이기보다, 먼저 두 함수가 같은 함수의 원시함수인지 확인해야 하는 문제를 풀고 있었다. 동춘동에서 수업을 시작한 날, 학생은 판별에 필요한 관계식을 여백에 따로 옮겨 적었지만 후보를 고른 뒤 반례를 점검하지 않아 틀린 선택지를 정답으로 확정했다.
후보를 찾은 뒤 멈춰 버린 반례 점검
예를 들어 두 함수의 도함수가 모두 2x라면 F(x)=x²+1, G(x)=x²-3은 같은 함수의 원시함수이다. 따라서 두 함수의 차는 F(x)-G(x)=4로 일정하다. 학생은 이 관계를 이용해 보기 중 맞는 후보를 찾아냈지만, 조건을 만족하지 않는 함수까지 같은 방식으로 볼 수 있는지 확인하지 않았다.
수업에서는 계산을 더 이어 가기보다 결론이 성립하려면 어떤 조건이 필요한지 먼저 되짚었다. 두 원시함수의 차가 상수라는 말은 단순히 식의 모양이 비슷하다는 뜻이 아니라, 두 함수의 도함수가 같다는 조건에서 출발한다. 도함수가 서로 다르면 차의 도함수도 0이라고 할 수 없으므로 상수 차이라는 결론을 확정할 수 없다.
같은 함수의 원시함수라면 두 함수의 도함수 차가 0이므로, 두 함수의 차는 상수이다.
계산 결과가 아니라 조건으로 선택지를 걸러 내기
학생에게는 맞는 후보를 고른 뒤 그 후보와 반대되는 결론이 가능한 간단한 예를 직접 만들어 보게 했다. 한쪽 함수에 x와 같은 항을 추가하면 두 함수의 차가 일정하지 않게 될 수 있으므로, 원시함수라는 조건이 유지되는지부터 확인해야 했다. 이후 학생은 “두 식의 차가 상수인지 보는 것”을 “두 식을 미분했을 때 같은 함수가 되는지 확인하는 것”으로 바꾸어 설명했다. 이 과정을 통해 상수 차이 자체를 외운 것이 아니라 판단 기준을 다른 표현으로 연결했다.
다음에는 앞서 본 식을 다시 주지 않고, 한 함수의 표현과 다른 함수의 표현을 바꾼 관계식을 제시했다. 학생은 새 식을 그대로 비교하지 않고 각각 미분한 뒤 도함수가 같은지 확인했고, 같은 경우에는 상수항만 달라질 수 있다고 판단하여 두 함수의 관계식을 직접 구성했다. 반대로 도함수가 달라지는 후보는 계산값이 그럴듯해도 원시함수 관계를 만족하지 않는다고 제외했다.
원조건으로 결론의 허용 범위를 확인한 장면
마지막 검증에서는 정답 후보를 고르는 대신, 제시된 결론이 원래 조건에서 허용되는지를 판단하게 했다. 학생은 먼저 두 함수가 같은 함수의 원시함수라는 조건을 다시 확인하고, 두 함수의 차를 미분해 0인지 점검했다. 이어 조건을 만족하지 않는 후보를 반례로 대조하면서, 상수 차이라는 결론을 계산 결과만으로 확정할 수 없다는 점까지 구분해 냈다.