인천중구 광성고등학교 수학과외
양쪽 접선의 기울기를 놓치면 사라지는 판정 근거
광성고등학교 학생과 미분가능성 문제를 풀던 중, 학생은 꺾이는 경계점에서 양쪽 접선의 기울기를 비교하는 중간값부터 계산했다. 문제의 최종 요구값을 바로 추측하지 않고, 경계점의 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 기울기를 각각 확인하는 방식이었다.
계산을 이어 가며 답에 가까워졌지만, 정작 “두 기울기가 같으므로 미분가능한가”라는 판단은 풀이에 적지 않았다. 특히 확인 계산에서 기준이 되는 값을 잘못 잡은 뒤, 앞에서 얻은 올바른 결과까지 지우려는 모습이 나타났다.
같지 않은 두 기울기를 하나의 값으로 처리한 장면
이때 결과를 단순히 고치게 하지 않고, 잘못된 기준값을 사용하면 어떤 모순이 생기는지 반례로 확인했다. 경계점의 왼쪽 접선 기울기가 2이고 오른쪽 접선 기울기가 3이라면, 함수값이 이어지더라도 한 점에서의 미분계수는 하나로 정해지지 않는다. 따라서 두 값이 다르면 그 점에서는 미분가능하지 않다는 조건을 반드시 남겨야 한다.
꺾이는 경계점에서는 좌우 접선의 기울기가 모두 존재하고 서로 같아야 미분가능하다고 판정할 수 있다.
정답 후보를 지운 뒤에도 조건으로 다시 세운 풀이
이후 영종국제도시 생활권에서 진행한 새 문항에서는 정답 후보를 미리 제거하는 방식 대신, 학생이 직접 순서를 정했다. 먼저 경계점의 위치와 함수값을 확인하고, 좌우 구간에서 각각 기울기를 계산한 다음, 두 결과가 같은지 판정한 뒤 최종값을 구했다. 이번에는 문제의 조건이 달라져 한쪽 식의 계수가 바뀌었지만, 학생은 이전 계산을 그대로 복사하지 않고 새로운 좌우 기울기를 따로 구해 답을 완성했다.
마지막에는 계산을 줄여도 되는 부분과 생략해서는 안 되는 근거를 구분했다. 최종 답안에는 좌우 기울기의 값, 두 값의 일치 여부, 그에 따른 미분가능 판정을 남겼고, 풀이에서 오류가 시작된 줄이 기준값을 잘못 설정한 부분이었다는 점까지 역순으로 확인했다.