계양구 인천효성고등학교 수학과외
경계값에서 안쪽 식의 위치를 놓친 풀이
계양구에서 인천효성고등학교 내신 문제를 함께 보던 중, 학생은 합성함수 형태의 값을 표와 연결하는 문항에서 경계값을 먼저 대입해 결과가 달라지는지 비교했다. 문제의 핵심은 바깥 함수에 바로 숫자를 넣는 것이 아니라, 안쪽 식을 하나의 새 변수로 보고 그 값이 어느 구간에 놓이는지 판단하는 데 있었다.
학생은 실제로 필요한 값까지 계산했지만, g(x)=2x-1을 새 변수 t로 두고 f(g(x))=f(t)로 읽는 중간 과정을 설명하지 않았다. 특히 표에서 안쪽 식의 값이 경계에 도달하는 순간 대응하는 칸을 한 칸 잘못 선택했고, 그 뒤의 계산은 같은 방식으로 이어졌기 때문에 최종값도 일관되게 어긋났다.
표의 한 칸보다 먼저 확인한 안쪽 값
이후에는 표나 그래프를 보기 전에 안쪽 식을 먼저 분리했다. 예를 들어 F(x)=f(2x-1)이라면 t=2x-1로 놓고, 먼저 t가 경계값과 같은지 또는 경계를 넘는지 확인하게 했다. t=1과 t>1에서 표의 대응 위치가 달라진다면, x의 값만 보고 판단하지 않고 반드시 2x-1의 결과를 기준으로 칸을 정해야 한다.
처음 사용한 표 읽기 방식을 그대로 반복하지 않고, 이번에는 식의 대응 관계를 거꾸로 추적했다. 최종적으로 선택한 표의 값을 f(t)에 넣은 뒤, 그 t가 원래의 2x-1과 일치하는지 확인했다. 같은 답이 다른 경로에서도 나오는지 비교하면서, 생략했던 치환 과정을 풀이에 직접 적도록 했다.
표현이 바뀐 합성함수에서 직접 만든 관계식
다음 문제에서는 앞의 식을 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 채 새로운 형태를 제시했다. 학생은 H(x)=p(3-x)에서 u=3-x를 직접 정한 다음, 주어진 경계값에 따라 u가 어느 위치에 해당하는지 판단했다. 이번에는 표의 숫자를 먼저 찾지 않고 안쪽 식의 값, 경계 포함 여부, 바깥 함수의 입력 순서를 차례로 기록했다.
합성함수의 표나 그래프를 읽을 때는 원래 변수의 위치가 아니라 안쪽 식이 만든 새 입력값을 기준으로 대응시킨다.
마지막에는 답만 확인하지 않고, 경계값을 포함한 경우와 포함하지 않은 경우의 결과를 나누어 살폈다. 또한 표에서 고른 위치를 식으로 되짚어 안쪽 식의 값과 맞는지 점검했다. 이 검증에서 위치와 답의 범위가 모두 일치하면서, 새로운 표현에서도 치환에 따른 판단을 스스로 완성할 수 있었다.