연수동 인천여자고등학교 수학과외







전개를 멈추고 부호가 바뀌는 지점을 찾은 풀이
연수동에서 인천여자고등학교 수학 문제를 함께 보던 중, 학생은 절댓값이 포함된 함수의 넓이를 구하면서 식 전체를 먼저 길게 전개하려 했다. 그러나 전개 과정이 복잡해지자, 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 먼저 찾아 구간을 나누는 방식으로 방향을 바꾸었다.
예를 들어 \(y=|x-1|\)의 \(0\le x\le3\)에서의 넓이를 구할 때는 \(x=1\)에서 식의 부호가 달라진다는 점을 표시했다. 따라서
\(0\le x\le1\)에서는 \(|x-1|=1-x\), \(1\le x\le3\)에서는 \(|x-1|=x-1\)로 바뀐다. 학생은 두 구간의 넓이를 각각 계산해 \(\frac12+2=\frac52\)를 얻었다.
답은 맞았지만 중간 관계식이 끊긴 서술형
처음 작성한 답안에는 최종 넓이 \(\frac52\)만 적혀 있었다. 어느 지점에서 절댓값의 식이 달라졌고 왜 두 구간으로 나누었는지가 빠져 있어, 계산 결과는 남았지만 논리의 연결이 끊긴 상태였다. 학생은 단순히 “영점에서 나누었다”고 쓰는 대신, 절댓값 안의 식 \(x-1=0\)에서 \(x=1\)을 구한 뒤 각 구간에서 부호가 어떻게 달라지는지를 관계식으로 적어야 한다는 점을 확인했다.
절댓값 넓이는 영점 자체를 찾는 데서 끝나지 않고, 그 점을 기준으로 식의 부호와 표현이 어떻게 바뀌는지 밝혀야 한다.
분할 계산과 다른 경로로 같은 넓이 확인하기
같은 방법만 반복하지 않도록, 이번에는 부호가 있는 함수의 정적분을 먼저 계산한 뒤 음수 부분을 보정했다. \(x-1\)을 \(0\)부터 \(3\)까지 적분하면 \( \frac32\)가 나오지만, \(0\le x\le1\)에서는 그래프가 x축 아래에 있어 해당 부분의 적분값 \(-\frac12\)를 넓이로 사용할 수 없다. 따라서 그 부분을 반대로 보정하면 \(\frac32-2\left(-\frac12\right)=\frac52\)가 되어 앞선 결과와 일치했다.
이후에는 \(y=|2x-4|\), \(1\le x\le4\)인 새 문제를 제시했다. 학생은 이전 식을 옮겨 쓰지 않고 \(2x-4=0\)에서 \(x=2\)를 직접 구했으며, \(1\le x\le2\)와 \(2\le x\le4\)로 나누어 삼각형 넓이 \(1\)과 \(4\)를 계산했다. 최종 넓이는 \(5\)였다.
마지막에는 구간의 양 끝값과 영점 \(x=2\)가 실제 범위 안에 있는지 점검하게 했다. 영점이 구간 밖에 있다면 중간 분할이 필요하지 않고, 영점에서 그래프가 x축을 기준으로 어느 쪽에 놓이는지도 확인해야 한다는 조건까지 검토하면서 답의 범위와 계산 근거를 함께 완성했다.