도화동 선인고등학교 수학과외
도화동에서 선인고등학교 내신 문항을 함께 살펴보던 학생은 함수의 그래프 위에서 주어진 직선과 평행한 접점을 찾는 문제를 만났다. 식 옆에는 핵심 조건을 짧게 표시하고, 접선의 기울기를 먼저 비교하는 순서로 풀이를 시작했다.
기울기는 맞았지만 접점의 허용 여부를 놓친 선택지
학생은 미분한 함수의 값이 주어진 직선의 기울기와 같아야 한다는 식까지는 세웠다. 예를 들어 곡선이 y=x²이고 직선의 기울기가 4라면 y'=2x에서 2x=4를 풀어 x=2를 얻는 방식이다. 그러나 선택지를 검토할 때에는 계산 결과와 접점의 조건이 실제로 함께 성립하는지 확인하는 기준을 세우지 못했다.
결국 평행 조건에 맞아 보이는 후보를 찾고도, 그 후보를 원래 식과 조건에 대입했을 때 문제가 생기는 경우를 확인하지 않은 채 정답으로 골랐다. 계산이 틀린 것이 아니라 마지막 허용 여부 판정이 빠진 상황이었다.
후보를 지우기보다 반례로 조건을 검사한 과정
교정에서는 오답을 바로 지우게 하지 않고, 후보가 왜 접점이 될 수 없는지 직접 반례를 만들게 했다. 먼저 후보의 좌표가 곡선 위에 놓이는지 대입하고, 이어서 그 점에서 구한 접선의 기울기가 주어진 직선의 기울기와 같은지 따로 확인했다. 두 조건 중 하나라도 어긋나면 평행한 접점이라는 결론을 내릴 수 없다는 점을 표시했다.
접선의 기울기가 같다는 조건만으로는 부족하며, 후보가 실제 곡선 위의 점인지까지 확인해야 한다.
표현을 바꾼 문제에서 직접 관계식을 세우다
이후에는 이전 식을 그대로 따라 쓰지 않도록 곡선과 직선의 표현을 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 주어진 직선에서 기울기를 읽고, 새 곡선의 도함수를 구한 뒤 두 값을 같게 놓아 접점의 좌표를 구성했다. 마지막에는 구한 점을 곡선에 대입하고 그 점에서의 접선식을 세워 평행 조건을 다시 확인했다.
최종 검증에서는 선택지 없이 후보를 직접 만들게 한 다음, 후보가 아닌 값을 하나 넣어 접선의 기울기가 달라지는 반례가 실제로 생기는지 확인했다. 학생은 반례가 존재하지 않는다고 단정하기 전에 곡선 위 조건과 기울기 조건을 모두 점검하며 접점을 판정했다.