간석동 석정여자고등학교 수학과외
평균변화율을 미분계수로 바꾸는 순간에 멈춘 풀이
석정여자고등학교 학생과 수학 과외를 진행하던 중, 함수의 변화량을 다루는 문항에서 계산을 시작하기 전에 어떤 부분을 극한으로 정리할 수 있는지 먼저 표시하게 했다. 문제는 평균변화율을 이용해 특정 순간의 변화율을 구하는 내용이었고, 학생은 전체 식을 전개하기보다 (f(a+h)-f(a))/h 꼴이 나타나는 지점을 찾아 두었다.
덕분에 요구된 값에 가까이 갔지만, 계산 결과가 어떤 조건에서 순간변화율이 되는지는 설명하지 않은 채 다음 단계로 넘어갔다. 특히 평균변화율을 계산한 뒤 단순히 값을 대입하는 것과, 두 점 사이의 간격을 0에 한없이 가깝게 보내는 것은 다르다는 점에서 풀이가 멈췄다.
평균변화율과 극한 조건을 따로 적어 본 과정
학생의 풀이 옆에 두 칸을 만들었다. 첫 번째 칸에는 두 점이 서로 달라야 하므로 h≠0이라고 적고, 두 번째 칸에는 순간변화율을 얻기 위해 h→0으로 보낸다고 구분했다. 예를 들어
평균변화율은 h≠0일 때의 두 점 사이 변화율이고, 순간변화율은 그 평균변화율의 극한이다.
그 뒤 f(x)=x²에서 x=a일 때를 직접 계산했다.
(f(a+h)-f(a))/h = ((a+h)²-a²)/h = 2a+h
여기서 먼저 h≠0인 상태에서 약분할 수 있음을 확인하고, 마지막에 h→0을 적용해 결과가 2a가 됨을 확인했다. 학생은 두 조건을 한꺼번에 처리하지 않고, 식을 변형할 수 있는 조건과 극한을 취하는 조건을 분리하면서 중간 판단을 설명하기 시작했다.
후보 없는 문항에서 풀이 순서를 직접 정하다
이후에는 선택지나 정답 후보가 없는 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 평균변화율의 식을 세운 뒤, 분모가 0이 되기 전 식을 정리하고, 마지막에 간격을 0으로 보내는 순서를 스스로 정했다. 계산이 끝난 뒤에는 처음 식으로 돌아가 특정한 작은 값의 h를 대입해 평균변화율이 구한 순간변화율에 가까워지는지도 확인했다.
마지막으로 학생은 중간에 얻은 값이 단순한 계산 결과가 아니라, 두 점 사이의 간격을 줄여 갔을 때의 변화율이라는 점을 설명했다. 평균변화율을 계산한 줄, 극한을 적용한 줄, 조건을 확인한 줄을 역순으로 짚어 보면서 어느 단계에서 순간변화율이 결정되는지도 스스로 검증했다.