간석동 인제고등학교 수학과외
좌우 변화율은 같아야 한다는 판단이 흔들린 순간
간석동에서 인제고등학교 수학 과외를 받던 학생은 식의 모양이 달라져도 한 점에서 미분계수가 존재하는지 판단하는 문제를 풀고 있었다. 문제를 읽은 뒤 곧바로 계산하지 않고, 왼쪽 변화율과 오른쪽 변화율을 각각 구해 미분계수 존재 여부를 확인하는 관계를 화살표로 정리했다.
처음에는 좌우에서 변화율이 모두 계산되면 미분계수가 존재한다고 생각했다. 그러나 선택지에서 후보를 하나 고른 뒤, 좌우 변화율의 값이 실제로 같은지 확인하지 않은 채 정답으로 확정하면서 오류가 드러났다. 예를 들어 한 점에서 왼쪽 변화율이 2이고 오른쪽 변화율이 3이라면 두 값은 모두 존재하지만 하나의 미분계수로 합쳐지지 않는다.
두 칸으로 나누자 보인 조건의 차이
교정할 때는 풀이표를 두 칸으로 나누었다. 첫 칸에는 왼쪽 변화율과 오른쪽 변화율이 각각 존재하는지를 적고, 둘째 칸에는 계산된 두 값이 서로 같은지를 기록했다. 한쪽이 2, 다른 쪽이 3인 경우에는 첫 칸은 통과하더라도 둘째 칸에서 탈락한다는 점을 직접 확인했다.
한 점에서 미분계수가 존재하려면 좌우 변화율이 각각 존재하고, 그 값이 서로 같아야 한다.
이후에는 식의 표현을 바꾼 독립 문제를 풀었다. 이전에 보았던 식을 옮겨 적지 않고, 주어진 관계식에서 기준점의 왼쪽과 오른쪽을 직접 나누어 각각 변화율을 계산했다. 이번에는 왼쪽 값과 오른쪽 값이 모두 4로 나오자, 두 조건을 순서대로 확인한 뒤 미분계수가 존재한다고 판단했다.
결론을 거꾸로 추적한 최종 점검
마지막에는 답을 먼저 보지 않고 “미분계수가 존재한다면 왜 좌우 변화율이 같아야 하는가”를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 하나의 미분계수가 존재한다는 것은 양쪽에서 접근해도 같은 변화율에 도달해야 한다는 뜻이며, 어느 한쪽의 값이 다르면 그 지점에서 공통된 미분계수를 정할 수 없다고 설명했다. 계산 결과만 맞힌 것이 아니라 선택지의 조건이 어디서 충족되고 끊기는지까지 스스로 확인했다.