계양구 계양고등학교 수학과외
계산을 시작하기 전, 0의 의미부터 가려낸 장면
계양고등학교 학생은 정적분 계산이 길어지는 문항에서 먼저 구간과 함수의 대칭을 표시했다. 특히 좌우에서 부호가 반대인 부분이 같은 크기로 나타나면 정적분값이 0으로 줄어들 수 있다는 점을 이용해, 전 구간의 계산을 펼치지 않아도 되는 부분을 찾아냈다. 예를 들어 홀함수인 \(f(x)=x\)에 대해 \(\int_{-1}^{1}x\,dx=0\)이지만, 그래프와 \(x\)축 사이의 실제 넓이는 양쪽 삼각형의 넓이를 더한 \(1\)이다.
0으로 계산된 값을 넓이에도 그대로 사용한 이유
문제는 정적분값을 구하는 단계에서 끝나지 않았다. 학생은 대칭으로 인해 적분값이 0이 된 뒤 그 결과를 다음 단계의 넓이 조건에도 그대로 대입하려 했다. 여기서 계산 자체는 맞았지만, 적분값이 양의 부분과 음의 부분을 서로 상쇄한 결과인지, 실제로 그래프와 축 사이의 공간이 없는 것인지 구분하지 못해 풀이가 멈췄다.
정적분값은 부호를 포함한 누적 결과이고, 넓이는 구간 안의 부분별 크기를 합한 값이다.
반례로 확인한 ‘적분값 0’의 허용 범위
잘못된 줄을 지우는 대신 학생은 \(\int_{-1}^{1}x\,dx=0\)을 반례로 삼았다. 이 식에서는 \(0\le x\le1\)에서의 적분값이 \(\frac12\), \(-1\le x\le0\)에서의 적분값이 \(-\frac12\)이므로 합이 0이 된다. 따라서 전체 넓이를 묻는다면 두 값을 상쇄하지 않고 절댓값을 취해 \(1\)로 계산해야 한다. 0을 넓이로 인정하려면 그래프가 해당 구간에서 실제로 \(x\)축과 떨어져 있지 않아야 한다는 조건도 함께 확인했다.
이후 새로운 문항에서는 정답 후보에 0이 포함되지 않은 상황에서도 먼저 부호가 바뀌는 지점을 찾고, 구간을 나누어 적분한 뒤 각 결과가 상쇄값인지 넓이값인지 구별했다. 마지막에는 완성한 풀이를 거꾸로 따라가며 첫 번째로 0을 얻은 줄을 확인했다. 그 값이 대칭에 따른 정적분 결과일 뿐 넓이 자체가 아니라는 점을 스스로 판정하면서, 오류가 시작된 위치와 조건을 함께 특정할 수 있었다.