논현동 인천논현고등학교 수학과외
결론을 고르기 전, 한 번 더 미분한 이유
인천논현고등학교 학생은 조건이 하나 달라졌을 때 도함수의 변화가 이계도함수에 어떻게 반영되는지 비교하는 문제를 풀고 있었다. 답을 선택하기 전에 도함수를 다시 미분해 확인하는 줄을 추가했지만, 실제 서술형 풀이에서는 그 판단이 생략되어 있었다.
이계도함수 값만 남고 관계식이 사라진 풀이
학생은 먼저 주어진 함수를 미분해 일차 도함수를 구한 뒤, 다시 미분하여 이계도함수의 결과까지는 도달했다. 그러나 왜 그 식을 다시 미분했는지, 조건이 바뀌면서 어느 항이 달라졌는지를 적지 않아 답과 근거 사이가 끊겼다. 특히 이계도함수는 일차 도함수의 변화율을 나타내므로, 중간의 도함수 식이 빠지면 계산 결과의 출처를 확인하기 어려웠다.
교정할 때는 같은 계산을 그대로 반복하지 않고, 앞서 사용한 풀이 순서를 잠시 막았다. 대신 원래 식을 먼저 전개하거나 동류항을 정리한 뒤 그 식에서 일차 도함수와 이계도함수를 차례로 구하게 했다. 두 경로에서 같은 이계도함수가 나오는지 비교하면서, 답안에는 최소한 원함수 → 일차 도함수 → 이계도함수의 연결을 남기도록 했다.
이계도함수의 값만 쓰는 것이 아니라, 그 값이 일차 도함수에서 어떻게 만들어졌는지를 함께 제시해야 한다.
정답 선택지를 없앤 조건에서 순서를 스스로 정하다
이후에는 보기나 정답 후보가 없는 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 변경된 조건이 원함수의 어느 부분에 영향을 주는지 표시하고, 그에 맞춰 일차 도함수를 다시 정리했다. 이어 이를 한 번 더 미분해 이계도함수를 구한 뒤, 처음 계산과 다른 방식으로 식을 정리해 같은 결과인지 확인했다.
마지막에는 계산 결과만으로 결론을 내리지 않고 원조건을 다시 대입했다. 조건을 만족하지 않는 값은 답으로 채택하지 않고, 허용되는 범위에서 이계도함수의 결론이 성립하는지 판정했다. 이 과정에서 학생은 생략했던 중간 관계식을 직접 기록하고, 계산·조건 확인·검산의 순서를 스스로 구성했다.