신천동 청구고등학교 수학과외
고정된 교점 뒤에 남은 근을 추적한 풀이
청구고등학교 학생은 신천동에서 진행한 수학 과외 시간에, 한 교점이 계속 같은 자리에 놓이는 이차함수의 풀이를 검토했다. 제시된 풀이를 한 줄씩 따라가며 고정된 근이 처음 사용된 부분에 표시했지만, 마지막에는 계산으로 얻은 값을 모두 가능한 답처럼 받아들이고 있었다.
계산값과 허용되는 값이 달라진 지점
예를 들어 f_k(x)=x²-(k+3)x+2(k+1)은 f_k(2)=0이므로 한 근이 항상 2이다. 근과 계수의 관계를 이용하면 다른 근은 k+1로 정리된다. 학생은 여기까지는 정확히 처리했지만, 이후 k+1을 구한 것만으로 결론을 내리려 했다.
실제 문제의 조건이 k>0이라면 다른 근은 반드시 1보다 커야 한다. k=-2를 대입하면 다른 근이 -1로 계산되지만, 이는 근의 공식이나 인수분해가 틀린 것이 아니라 애초에 주어진 조건을 만족하지 않는 후보이다. 학생이 멈춘 곳도 바로 이처럼 계산 결과가 어떤 범위에서만 유효한지 판단하는 단계였다.
고정된 한 근으로 다른 근을 표현한 뒤에는, 그 값이 원래 조건을 만족하는지 반드시 따로 확인해야 한다.
후보를 지우는 대신 반례로 조건을 확인하다
교정할 때 단순히 k=-2를 오답이라고 표시하지 않고, 그 값을 실제 식에 넣어 조건이 깨지는 과정을 확인했다. f_{-2}(x)=x²-x-2=(x-2)(x+1)이므로 계산상 두 근은 2와 -1이지만 k>0이 성립하지 않는다. 이 반례를 통해 학생은 ‘다른 근의 공식’과 ‘그 근이 허용되는 범위’를 분리해 기록하기 시작했다.
이후에는 새로운 조건이 붙은 문제에서 먼저 고정된 근을 대입하고, 남은 근을 계수 관계로 구한 다음, 매개변수 조건을 이용해 후보를 줄이고, 마지막에 원래 식에 대입하는 순서를 스스로 정했다. 예컨대 고정근이 -2이고 다른 근이 m-1로 나타나는 식에서는 m의 범위를 먼저 확인한 뒤 교점의 위치를 판단했다.
계산 결과가 조건 밖으로 나가는지 역으로 점검하기
마지막에는 특정 선택지를 고르는 대신, 구한 다른 근을 식에 다시 넣어 0이 되는지 확인하고 동시에 매개변수 조건도 만족하는지 점검했다. 조건을 제거하면 k=-2 같은 값도 형식상 근을 만들 수 있지만, 조건을 유지하면 제외된다는 점을 역순으로 설명하게 하자, 학생은 고정된 교점의 변화와 허용 범위를 함께 판단할 수 있었다.