태전동 영송여자고등학교 수학과외
계수 후보를 남긴 채 멈춘 항등식 풀이
태전동에서 진행한 수업에서 학생은 미지수 계수가 포함된 다항식의 항등식 문제를 풀며, 먼저 가능한 값을 여백에 모두 적은 뒤 조건에 맞지 않는 경우를 지워 나갔다. 예를 들어
(x+1)(x²+ax+b)=x³+5x²+10x+6
에서는 양변의 같은 차수 항을 비교해야 한다. 학생은 처음에 일부 계수만 살펴 a=4, b=6을 얻었지만, x의 계수까지 확인해 a+b=10이 되는지 점검하는 단계에서 풀이가 흔들렸다.
마지막 후보를 반례로 걸러낸 과정
선택지를 검토할 때 학생은 조건에 맞아 보이는 후보 하나를 찾자 곧바로 정답으로 확정했다. 그러나 실제로는 상수항과 x²항만 맞고 x항이 맞지 않는 후보도 있었다. 교정할 때는 후보를 고른 뒤 양변을 전개해 모든 차수의 계수를 대조하게 했다. 위 식에서는 a+1=5, a+b=10, b=6을 차례로 확인하므로 a=4, b=6이 세 관계를 동시에 만족한다는 점을 직접 확인했다.
이후 학생은 항등식을 “특정한 x를 넣어 맞는 식”이 아니라 “모든 x에서 같은 다항식이 되므로 같은 차수의 계수가 각각 같아야 하는 식”이라고 바꾸어 설명했다. 이를 통해 계산 순서를 외운 것이 아니라 후보를 남기는 조건과 탈락시키는 조건을 구분했는지 확인했다.
표현을 바꾼 새 관계식에서의 계수 결정
다음에는 앞의 식을 보여 주지 않고
(x-2)(x²+px+q)=x³+3x²-4x-6
이라는 새로운 항등식을 제시했다. 학생은 먼저 전개하여 x³+(p-2)x²+(q-2p)x-2q를 만든 뒤, p-2=3, q-2p=-4, -2q=-6을 세웠다. 상수항에서 q=3, x²항에서 p=5를 얻고, x항의 관계도 -4가 되는지 확인해 두 계수가 실제로 함께 성립하는지 판단했다.
마지막에는 특정 계수 하나만 맞는 후보를 일부러 제시하고, 다른 차수의 계수에서 반례가 생기는지 찾게 했다. 학생은 상수항이 맞더라도 나머지 관계식이 어긋나면 제외해야 하며, 경계처럼 보이는 후보도 모든 계수 비교를 통과해야 최종 답이 된다고 판정했다.