상인동 영남고등학교 수학과외
두 일차인수의 역할을 뒤바꾼 풀이
영남고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 다항식의 계수를 정하는 문항에서 먼저 문제의 조건을 읽고, 중간식 옆에 서로 다른 두 일차인수를 확인하는 데 필요한 값을 따로 적었다. 계산 방향 자체는 맞았지만, 답을 구하는 과정에서 그 판단이 왜 필요한지는 풀이에 남기지 않았다.
학생은 문제에서 요구한 값까지 계산한 뒤 풀이를 마무리하려 했다. 그러나 식을 다시 살펴보니 두 인수에 대응하는 항목의 역할을 서로 바꾸어 사용한 흔적이 보였다. 예를 들어 두 근을 α, β라 하면
α≠β인 두 일차인수는 근의 합과 곱을 각각 계수와 연결해 확인해야 한다.
이때 근의 합은 α+β, 근의 곱은 αβ로 구분해야 한다. 학생은 이 둘을 뒤바꾸면서 조건 확인을 생략했고, 결과적으로 계산값만 맞춰 보려는 상태에 머물렀다.
근의 합과 곱을 계수에 대응시킨 기록
교정에서는 먼저 다항식을 인수 형태로 놓았다. 예를 들어 최고차항 계수가 1인 이차식이 두 서로 다른 일차인수를 가지면
(x-α)(x-β)=x²-(α+β)x+αβ
로 전개된다. 학생은 이 식에서 x의 계수와 상수항이 각각 무엇을 나타내는지 표시한 뒤, α≠β 조건이 단순한 장식이 아니라 두 근이 같지 않음을 확인하는 조건이라는 점까지 함께 적었다.
이후 처음 사용한 전개 순서를 그대로 반복하지 않고, 계수에서 근의 합과 곱을 역으로 읽어 두 인수를 구성하는 방식으로 검산했다. 두 방식에서 얻은 인수가 서로 다르면 근의 합이나 곱을 잘못 대응시킨 것이므로, 학생은 각 항목의 역할을 다시 대조해 같은 결과가 나오는지 확인했다.
정답 후보 없이 조건부터 세운 새 문항
새 문제에서는 보기나 정답 후보를 제공하지 않고, 계수가 주어진 다항식에서 서로 다른 두 일차인수를 갖는 조건을 이용해 필요한 값을 직접 정하게 했다. 학생은 먼저 다항식을 인수 형태로 바꿀 수 있는지 판단하고, 근의 합과 곱을 계수와 연결한 다음, 두 근이 같은지 여부를 확인하는 순서를 스스로 정했다.
마지막에는 계산 결과만 확인하지 않고, 구한 두 인수를 다시 곱해 원래 다항식이 되는지 점검했다. 또한 두 인수에서 얻은 근이 실제로 서로 다른지 확인하여, 계수 계산과 조건 판정이 모두 충족되는지 최종적으로 검토했다.