수성구 덕원고등학교 수학과외
합성함수의 정의역을 결정한 근거가 빠진 답안
덕원고등학교 학생은 합성함수의 정의역을 묻는 선택형 문제에서 남은 답을 비교하며 각 후보 옆에 작은 표시를 남겼다. 먼저 입력값이 함수 \(g\)의 정의역에 속해야 하고, 동시에 \(g(x)\)가 함수 \(f\)의 정의역에 들어가야 한다는 점을 기준으로 선택지를 걸러냈다. 덕분에 요구된 값까지는 도달했지만, 어떤 조건을 통과시켜 그 답을 골랐는지는 풀이에 드러나지 않았다.
결과는 맞았지만 빠져 있던 한 줄
서술형으로 옮기는 과정에서 학생은 최종 범위만 적고 그 앞의 관계식을 생략했다. 합성함수 \(f(g(x))\)의 입력 \(x\)는 우선 \(g\)의 정의역에 있어야 하며, 그 결과 \(g(x)\)도 \(f\)의 정의역에 속해야 한다. 따라서 핵심은
\(\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\}\)
라는 두 조건을 함께 확인하는 데 있다. 학생의 답은 범위 자체는 맞았지만, 이 관계식이 빠져 조건에서 결론으로 넘어가는 논리가 끊겨 있었다.
두 정의역 조건을 나누어 확인한 뒤
교정할 때는 두 조건을 한 줄에 섞지 않고 표의 별도 칸에 적었다. 첫 칸에는 \(x\in\mathrm{Dom}(g)\), 둘째 칸에는 \(g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\)를 기록한 뒤 각각의 결과를 계산하고 마지막에 교집합처럼 합쳤다. 이렇게 하자 \(g\)의 입력 조건만 만족하는 값과 \(g(x)\)의 결과가 \(f\)에 허용되지 않아 제외되는 값을 구분할 수 있었다.
이후에는 앞서 본 식을 그대로 복사하지 않고, 조건 하나만 유지한 새로운 합성함수 문항을 제시했다. 학생은 먼저 \(g\)의 허용 범위를 정한 다음 그 범위 안에서 \(g(x)\)가 \(f\)에 입력 가능한지 따로 판정해 새로운 관계식을 직접 세웠다. 마지막에는 답의 범위에 포함된 값 하나와 제외된 값 하나를 각각 대입해 두 조건을 모두 만족하는지 확인했다. 이를 통해 최종 범위뿐 아니라 그 범위를 만든 조건까지 빠짐없이 점검할 수 있었다.