범어동 경신고등학교 수학과외
공통구간을 찾고도 빠뜨린 한 줄
경신고등학교 학생과 변형 부등식 문제를 풀던 중, 학생은 먼저 서로 관련된 식에 화살표를 그어 묶었다. 각 부등식의 해를 따로 구한 뒤 수직선에 나타내고 겹치는 범위를 찾으려는 방향은 정확했다.
하지만 서술형 풀이에서는 공통구간을 곧바로 적었다. 예를 들어 한 부등식에서 얻은 범위와 다른 부등식에서 얻은 범위를 비교한 뒤 최종 구간을 제시했지만, 두 해가 왜 동시에 만족되어야 하는지를 보여 주는 관계식이 빠져 있었다. 답 자체에 접근했어도 중간 판단이 설명되지 않아 논리의 연결이 끊긴 상태였다.
수직선의 겹치는 부분을 식으로 연결하기
학생은 각 해를 표시하는 것에서 멈추지 않고, 공통구간이 만들어지는 직전의 관계를 한 줄로 적는 훈련을 했다. 한 부등식의 해가 \(x\geq 2\), 다른 부등식의 해가 \(x<5\)라면 수직선에서 겹치는 부분은 \(2\leq x<5\)가 된다는 식이다. 이때 양 끝점 중 어느 값이 포함되는지도 원래 부등식의 등호 여부와 함께 확인했다.
이후에는 기존 풀이 순서를 그대로 사용하지 않고, 각 부등식의 해를 먼저 개별적으로 정리한 뒤 수직선에 표시하고, 마지막에 원조건에 대입하는 방식으로 검산했다. 같은 결론이라도 공통으로 만족해야 하는 범위를 어떻게 정했는지 드러나도록 풀이를 구성했다.
연립부등식의 해는 각각의 해가 아니라, 모든 조건을 동시에 만족하는 수직선의 겹치는 구간이다.
표현이 달라진 문항에서 새 범위 만들기
다음 문제에서는 한 조건만 유지하고 나머지 식의 표현을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 앞서 본 식을 베끼지 않고 새로운 관계식을 직접 세운 뒤, 각 부등식의 해를 따로 구했다. 그런 다음 수직선에 두 범위를 표시해 겹치는 구간을 선택하고, 해당 구간의 끝점이 포함되는지 다시 판정했다.
마지막에는 공통구간에서 임의의 값을 골라 원래 조건에 대입했다. 선택한 값이 모든 부등식을 만족하는지, 반대로 경계 밖의 값은 어느 조건에서 제외되는지를 확인하면서 최종 결론의 허용 여부를 원조건으로 검증했다.
범어동에서 진행한 이 학습에서는 답을 맞히는 것보다 각 부등식의 해가 하나의 공통 범위로 좁혀지는 과정을 남기는 데 초점을 두었다. 대구광역시립수성도서관 인근에서 복습할 때도 학생은 수직선 표시와 원조건 대입을 함께 사용해 중간 판단을 생략하지 않았다.