지산동 수성고등학교 수학과외
경계점은 찾았지만, 그 사이의 관계식을 빠뜨린 풀이
지산동에서 수성고등학교 수학 과정을 공부하던 학생은 절댓값이 두 개 포함된 부등식의 미완성 풀이를 완성하는 문제를 풀었다. 계산을 시작하기 전에는 식에 등장한 두 절댓값의 경계점과 연결되는 항을 화살표로 표시했다. 예를 들어 |x-a|와 |x-b|가 있으면 각각 0이 되는 지점이 어디인지 먼저 묶어 보며 풀이의 순서를 정하려 했다.
그러나 답안을 살펴보니 경계점을 기준으로 구간을 나눈 흔적과 마지막 결과는 남아 있었지만, 각 구간에서 절댓값을 어떤 식으로 바꾸었는지를 나타내는 관계식이 빠져 있었다. 학생은 계산 결과만 맞으면 된다고 생각했지만, 서술형에서는 x<a, a≤x<b, x≥b처럼 범위를 나눈 뒤 그 범위에 맞게 절댓값의 부호를 결정하는 과정이 핵심이었다.
허용되지 않는 값을 반례로 되짚은 장면
교정할 때는 기존 답을 곧바로 지우지 않고, 학생이 얻은 후보 중 하나를 원래 부등식에 대입했다. 그 값이 경계점이 놓인 구간의 조건을 만족하지 않으면 해당 구간에서 세운 식을 적용할 수 없다는 점을 확인했다. 즉, 계산 결과가 나왔더라도 그 값이 자신이 사용한 범위에 들어가는지 검토하지 않으면 해로 인정할 수 없었다.
절댓값 두 개를 나눌 때는 경계점에서 구간을 만든 뒤, 각 구간의 부호 관계식과 계산 결과가 서로 같은 범위에 있어야 한다.
이후 학생은 풀이 빈칸을 채울 때 결과만 적지 않고, 먼저 경계점을 기준으로 구간을 나누고 각 구간에서 절댓값이 어떻게 표현되는지 한 줄씩 적었다. 계산이 끝난 뒤에는 얻은 값이 해당 구간의 조건을 만족하는지 다시 대입했다.
정답 후보 없이 새 부등식을 끝까지 구성하다
다음에는 선택지나 정답 후보가 제시되지 않은 다른 절댓값 두 개 부등식을 제시했다. 학생은 먼저 두 절댓값이 0이 되는 경계점을 찾고, 그 점을 기준으로 구간을 나눈 다음, 각 구간의 관계식을 세워 계산했다. 마지막에는 각 구간에서 나온 값을 원래 부등식에 대입해 계산 결과와 조건을 함께 확인했다.
최종 확인에서는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 마지막 해집합에서 출발해 각 값이 어느 구간에서 나왔는지, 그 구간의 절댓값 표현이 왜 적용되는지, 원래 부등식에서도 성립하는지를 차례로 되짚었다. 이를 통해 경계점 분할이 적용되지 않는 경우와, 분할 뒤 조건 확인까지 마쳐야 하는 경우를 구별할 수 있었다.