상인동 상인고등학교 수학과외
인수 조건을 계수식으로 바꾼 뒤, 경계에서 멈춘 풀이
상인동에서 진행한 상인고등학교 수학 학습 중, 한 학생은 미정계수가 포함된 다항식에 특정 인수가 주어졌을 때 계수를 정하는 문제에서 계산 자체는 빠르게 끝냈다. 하지만 구한 식이 모든 경우에 성립하는지, 아니면 제시된 조건 안에서만 성립하는지를 구분하지 못했다.
예를 들어 P(x)=x³+ax²+bx-2가 x-1과 x+1을 인수로 가진다면 학생은 인수 조건을 각각 대입 조건으로 바꾸어야 한다. 즉 P(1)=0, P(-1)=0이므로
a+b-1=0, a-b-3=0
을 얻고, 두 식을 풀어 a=2, b=-1을 결정할 수 있다. 실제로 다항식은 x³+2x²-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)가 된다.
계산 결과와 조건의 적용 범위를 나누어 본 과정
학생은 경계가 되는 값을 먼저 대입해 결과가 달라지는지 비교했지만, 그 값에서 나온 계산 결과와 인수 조건이 적용되는 범위를 한 덩어리로 받아들이고 있었다. 풀이가 멈춘 지점은 계수를 구한 다음이었다. 구한 값이 단순한 계산의 산물인지, 특정 인수 조건을 만족시키기 때문에 정해진 것인지 설명하지 못했다.
그래서 각 줄 옆에 ‘계수 결정’과 ‘조건 확인’을 따로 표시하게 했다. 인수 조건은 P(r)=0이라는 등식으로 바뀌며, 이 등식은 주어진 인수에 해당하는 값에서 확인해야 한다는 점을 다시 짚었다. 경계값이 포함된 조건인지 제외된 조건인지에 따라 그 값을 검토하는 방식도 달라질 수 있으므로, 대입 결과만 보고 결론을 내리지 않도록 했다.
인수가 주어졌다면 먼저 해당 값을 대입해 영이 되는 조건을 만들고, 그 조건이 적용되는 범위까지 확인해야 한다.
정답 후보 없이 풀이 순서를 스스로 정한 적용
이후에는 앞의 수와 다른 조건을 제시하고 선택지를 없앴다. 학생은 먼저 인수마다 대입식을 만들고, 그 식들을 연립해 미정계수를 정한 뒤, 원래 다항식에 다시 대입해 조건을 확인하는 순서를 직접 정했다. 단순히 계수값을 적는 데 그치지 않고, 각 값이 어떤 인수 조건에서 나온 것인지 표시했다.
마지막에는 인수 조건 하나를 제거했을 때 연립방정식의 개수가 줄어 계수가 하나로 정해지지 않을 수 있다는 점을 설명하게 했다. 계산 경로와 인수분해 결과를 서로 대조한 뒤, 경계값을 포함하는지까지 확인하면서 답의 범위와 조건을 구분해 최종 답을 완성했다.