비산동 대구제일고등학교 수학과외
교점의 좌표를 새 이차방정식으로 옮겨 쓰는 과정
대구제일고등학교 학생과 수식과 그래프를 함께 읽는 문제를 다루던 중, 그래프 위의 곡선과 직선이 만나는 점을 새로운 이차방정식으로 표현해야 하는 상황이 나왔다. 비산동 학습 공간에서 문제를 다시 펼친 학생은 먼저 식의 각 항이 그래프의 어떤 관계를 나타내는지 짚고, 직선과 곡선의 교점에서 두 식의 값이 같아진다는 점을 연결했다.
교점 조건을 식으로 옮긴 뒤 멈춘 지점
학생은 곡선의 식과 직선의 식을 같게 놓아 교점의 가로좌표가 만족하는 이차방정식을 만들었다. 계산 자체는 순서대로 진행했지만, 보기 중 비슷한 식을 고른 뒤에는 무엇을 확인해야 그 식이 실제 교점 조건을 반영하는지 스스로 정하지 못했다.
특히 한 후보가 계수 변형만으로는 그럴듯해 보이자, 그래프에서 실제로 만나는 점을 대입해 보지 않은 채 정답이라고 판단했다. 이때 틀린 지점은 계산식 전체가 아니라, 새 이차방정식이 원래의 두 그래프가 같은 값을 갖는 조건을 끝까지 보존하는지 확인하지 않은 데 있었다.
후보 식에 교점 조건을 역으로 대입하기
교정할 때는 잘못된 결과를 곧바로 지우지 않고, 그 식이 허용할 것처럼 보이는 값을 원래의 곡선식과 직선식에 각각 넣어 보게 했다. 두 식의 결과가 다르게 나오면 그 값은 교점의 가로좌표가 될 수 없다는 반례가 된다. 반대로 두 식의 값이 같아지는지 확인해야 새로 만든 이차방정식이 원래 그래프의 교점 조건과 동치인지 판단할 수 있었다.
새 이차방정식의 해는 계산으로 생긴 숫자가 아니라, 원래 두 그래프의 함수값을 같게 만드는 교점의 좌표여야 한다.
표현을 바꾼 그래프 문제에서 직접 관계식 세우기
이후에는 앞서 본 식을 그대로 복사하지 않고, 한 조건만 유지한 채 곡선과 직선의 표현을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 먼저 두 그래프의 교점에서 공통으로 성립하는 값을 표시한 뒤, 직선의 식을 곡선의 식과 같게 놓아 새로운 이차방정식을 직접 구성했다. 보기에서 고르는 대신 자신이 만든 관계식에 후보 값을 대입해 두 함수값을 비교했다.
마지막에는 적용되지 않는 경우도 구별했다. 새 식의 해처럼 보이는 값이라도 원래 두 식 중 하나의 정의된 범위를 벗어나거나 두 그래프의 함수값이 일치하지 않으면 교점으로 인정하지 않았다. 이를 통해 학생은 이차방정식의 모양만 맞추는 것이 아니라, 그 해가 실제 그래프와 직선의 공통 좌표에서 나온 것인지까지 확인하며 풀이를 마무리했다.