구서동 브니엘예술고등학교 수학과외
역함수 후보를 고른 뒤, 중간값을 확인하지 못한 장면
구서동에서 수학 과외를 받던 학생은 역함수 관련 선택지 문제에서 각 식을 계산하는 과정은 빠르게 진행했다. 중간식 옆에는 입력값과 출력값을 따로 적어 두었지만, 두 함수의 정의역과 치역이 역함수에서 서로 바뀌는지 판단할 때 어떤 값을 대조해야 하는지는 정하지 못한 상태였다.
학생은 선택지 중 하나가 조건에 맞는 것처럼 보이자 끝점만 비교한 뒤 정답으로 확정했다. 하지만 역함수에서는 구간의 양 끝뿐 아니라 내부의 값도 대응되어야 한다. 예를 들어 어떤 함수가 정의역이 [1, 4]이고 치역이 [3, 9]라면, 역함수의 정의역은 [3, 9], 치역은 [1, 4]가 되어야 한다. 끝점이 맞더라도 중간값 5에서 원래 함수와 역함수의 대응이 어긋나면 그 선택지는 성립하지 않는다.
끝점 비교에서 대응값 대조로 바꾼 확인법
교정할 때는 후보를 고른 다음 임의의 값 하나를 넣어 원래 함수의 대응을 확인하고, 그 결과를 역함수에 다시 넣어 처음 값으로 돌아오는지 살폈다. 또한 같은 내용을 “원래 함수의 입력 범위가 역함수의 출력 범위가 되고, 원래 함수의 출력 범위가 역함수의 입력 범위가 된다”라고 바꾸어 말하게 했다. 이 과정을 통해 계산 순서만 기억한 것이 아니라 정의역과 치역의 자리 교환을 기준으로 선택지를 판단하도록 했다.
이후에는 앞서 보지 않았던 관계식으로 확인했다. 예를 들어 정의역이 [-1, 3]인 함수 f(x)=(x+3)/2의 치역은 [1, 3]이다. 따라서 역함수는 정의역 [1, 3], 치역 [-1, 3]을 가져야 하며, 관계식은 f⁻¹(x)=2x-3으로 나타난다. 학생은 이전 식을 베끼지 않고 새 식에서 f(1)=2, f⁻¹(2)=1을 직접 만들어 대응을 확인했다.
역함수에서는 원래 함수의 한 입력과 그 출력이 서로 자리를 바꾸므로, 중간값도 같은 방식으로 되돌아오는지 확인해야 한다.
중간값을 이용한 최종 점검
마지막에는 식을 다시 풀게 하지 않고, “정의역 안의 중간값을 하나 골랐을 때 그 값의 함수값은 어디에 속하며, 그 함수값을 역함수에 넣으면 무엇이 나와야 하는가”를 설명하게 했다. 학생은 정의역의 값 1을 골라 함수값 2를 얻은 뒤, 역함수의 입력 범위에 2가 포함되고 역함수값이 다시 1이 되어야 한다고 말하며 후보를 검토했다. 이로써 끝점만 맞는 선택지를 그대로 확정하지 않고, 중간 대응값까지 확인하는 판단이 정착되었다.