사하구 부산일과학고등학교 수학과외
사하구에서 부산일과학고등학교 수학 문제를 정리하던 학생은 로그식이 복잡해질수록 계산보다 먼저 같은 형태의 로그를 하나의 문자로 묶어야 한다는 점을 확인했다. 신평현대아파트 인근 학습 공간에서 풀던 문제도 겉보기에는 로그 계산처럼 보였지만, 실제 핵심은 이차방정식으로 바꾸는 순간과 그 결과를 원래 조건에 되돌려 보는 순서에 있었다.
로그를 한 문자로 묶은 뒤 생긴 두 해
학생은 식을 바로 전개하지 않고 여백에 t=log₂(x-1)을 따로 적었다. 예를 들어
(log₂(x-1))²-3log₂(x-1)+2=0
을 t²-3t+2=0으로 바꾸어 (t-1)(t-2)=0을 얻었다. 처음에는 여기서 나온 t=1, 2를 곧바로 최종 답처럼 취급하려 했다. 그러나 치환된 문자의 값은 원래 식의 해가 아니라는 점에서 풀이가 멈췄다. 특히 log₂(x-1)이 정의되려면 x-1>0이어야 하고, 각 값을 다시 지수식으로 되돌려야 했다.
치환으로 얻은 값은 후보이며, 원래 로그의 정의 조건과 역변환을 거쳐야 해가 된다.
계산 결과를 원래 식으로 되돌려 확인한 과정
교정에서는 앞서 사용한 인수분해를 반복하지 않고, 두 후보를 원래 로그식에 직접 대입하는 방식으로 확인했다. t=1이면 x-1=2이므로 x=3, t=2이면 x-1=4이므로 x=5가 된다. 두 값 모두 x>1을 만족했고, 원래 식에서도 각각 1²-3·1+2=0, 2²-3·2+2=0이 성립했다.
이 과정을 거치며 학생은 치환의 기준이 단순히 로그가 보인다는 데 있지 않고, 같은 로그식을 하나의 문자로 바꾸었을 때 이차방정식 형태가 만들어지는지에 있다는 점을 구분했다. 또한 치환 전의 정의역과 치환 후의 해를 연결하지 않으면 계산이 맞아도 결론이 달라질 수 있음을 풀이에 표시했다.
답이 제시되지 않은 새 문항에서 순서를 스스로 정하다
이후에는 선택지가 없는 새 문제에서 y=log₃(x+2)로 먼저 치환한 뒤, 얻은 이차방정식의 두 후보를 원래 변수로 바꾸고 x+2>0을 확인하는 순서를 학생이 직접 정했다. 계산을 마친 뒤에는 한 후보씩 원래 로그식에 대입해 등식이 성립하는지 확인했다.
마지막 검증에서는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 최종값에서 로그의 진수를 계산하고, 그 값이 치환된 문자와 일치하는지 확인한 다음, 진수가 양수인지 점검했다. 이를 통해 정답 후보를 단순히 나열한 것이 아니라 치환, 조건 판정, 원식 대입이 모두 맞물려야 최종 답이 된다는 사실을 스스로 검증했다.