구서동 브니엘고등학교 수학과외







제곱함수의 역함수에서 후보 하나를 지우지 못한 이유
구서동에서 수학 과외를 받던 학생은 브니엘고등학교 문제의 표와 그래프를 함께 읽으며 역함수 식을 구하고 있었다. 원함수는 \(y=x^2\)이고 정의역이 \(x\ge 0\)인 상황이었다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꿔 \(x=y^2\)로 만든 뒤, \(y=\pm\sqrt{x}\)라고 적었다.
가능한 식을 넓게 적은 뒤 정의역 조건으로 범위를 좁히려는 접근 자체는 맞았다. 그러나 표에서 원함수의 입력과 출력 위치를 한 칸 잘못 대응시키면서, 역함수의 입력 범위를 원함수의 정의역인 \(x\ge0\)로 그대로 옮겼다. 그 결과 음의 제곱근을 제외해야 하는 중간 판단을 설명하지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔다.
두 후보 중 하나가 허용되지 않는지 직접 확인한 과정
학생에게 틀린 결과를 바로 지우게 하지 않고, 각 후보가 원래 조건을 만족하는지 반례로 확인하게 했다. \(x=4\)일 때 \(y=\sqrt4=2\)는 원함수의 정의역 \(x\ge0\)에 들어가지만, \(y=-\sqrt4=-2\)를 원함수의 입력으로 되돌리면 제한된 정의역을 벗어난다. 따라서 역함수는 \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)이고, 역함수의 정의역은 원함수의 치역인 \(x\ge0\)임을 확인했다.
역함수 식의 후보를 정한 뒤에는 원함수의 정의역과 치역이 서로 어떻게 바뀌는지 반드시 대조해야 한다.
꼭짓점이 달라진 제곱함수에서 스스로 정한 순서
이후에는 \(y=(x-1)^2+2\), \(x\ge1\)인 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 \(x=(y-1)^2+2\)로 적고, \(x-2=(y-1)^2\)에서 \(y=1\pm\sqrt{x-2}\)를 얻었다. 이어 원함수의 정의역이 \(x\ge1\)이므로 역함수에서는 \(y\ge1\)인 가지를 선택해 \(f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\)라고 정리했다.
마지막에는 경계값 \(x=2\)를 대입해 역함수값이 \(1\)이 되는지 확인하고, 원함수에 다시 넣어 \((1-1)^2+2=2\)가 나오는지 검산했다. 두 번째 가지를 선택하면 정의역 조건과 맞지 않는다는 점까지 설명하면서, 후보를 계산한 뒤 조건으로 걸러 내는 과정을 스스로 완성했다.