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구서동 브니엘고등학교 수학과외

제곱함수의 역함수에서 후보 하나를 지우지 못한 이유

구서동에서 수학 과외를 받던 학생은 브니엘고등학교 문제의 표와 그래프를 함께 읽으며 역함수 식을 구하고 있었다. 원함수는 \(y=x^2\)이고 정의역이 \(x\ge 0\)인 상황이었다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꿔 \(x=y^2\)로 만든 뒤, \(y=\pm\sqrt{x}\)라고 적었다.

가능한 식을 넓게 적은 뒤 정의역 조건으로 범위를 좁히려는 접근 자체는 맞았다. 그러나 표에서 원함수의 입력과 출력 위치를 한 칸 잘못 대응시키면서, 역함수의 입력 범위를 원함수의 정의역인 \(x\ge0\)로 그대로 옮겼다. 그 결과 음의 제곱근을 제외해야 하는 중간 판단을 설명하지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔다.

두 후보 중 하나가 허용되지 않는지 직접 확인한 과정

학생에게 틀린 결과를 바로 지우게 하지 않고, 각 후보가 원래 조건을 만족하는지 반례로 확인하게 했다. \(x=4\)일 때 \(y=\sqrt4=2\)는 원함수의 정의역 \(x\ge0\)에 들어가지만, \(y=-\sqrt4=-2\)를 원함수의 입력으로 되돌리면 제한된 정의역을 벗어난다. 따라서 역함수는 \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)이고, 역함수의 정의역은 원함수의 치역인 \(x\ge0\)임을 확인했다.

역함수 식의 후보를 정한 뒤에는 원함수의 정의역과 치역이 서로 어떻게 바뀌는지 반드시 대조해야 한다.

꼭짓점이 달라진 제곱함수에서 스스로 정한 순서

이후에는 \(y=(x-1)^2+2\), \(x\ge1\)인 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 \(x=(y-1)^2+2\)로 적고, \(x-2=(y-1)^2\)에서 \(y=1\pm\sqrt{x-2}\)를 얻었다. 이어 원함수의 정의역이 \(x\ge1\)이므로 역함수에서는 \(y\ge1\)인 가지를 선택해 \(f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\)라고 정리했다.

마지막에는 경계값 \(x=2\)를 대입해 역함수값이 \(1\)이 되는지 확인하고, 원함수에 다시 넣어 \((1-1)^2+2=2\)가 나오는지 검산했다. 두 번째 가지를 선택하면 정의역 조건과 맞지 않는다는 점까지 설명하면서, 후보를 계산한 뒤 조건으로 걸러 내는 과정을 스스로 완성했다.

학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위

현재 수강 과목, 교과서와 학교 자료, 실제 시험 범위를 확인해 필요한 내용을 정합니다. 아래 예시는 특정 학교의 출제 경향이나 실제 학생의 수업 사례를 뜻하지 않습니다.

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

조건 때문에 제외되는 값 찾기

분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.

이미 배운 내용과 실제 수강 과목에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율합니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

구서동 수학과외 수업 후기

문제집을 펼쳐 보니 기하 문제 옆에 있던 그림과는 조금 다른 그림이 한쪽에 새로 그려져 있더라고요. 문제에 나온 조건을 전부 옮긴 게 아니라 필요한 것만 골라 적어 놓고, 그 그림 아래에서 풀이를 이어 간 흔적이 보였어요. 새 단원을 시작한 첫 주라 더 인상에 남았습니다. 구서동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면을 집에서 보게 될 줄은 몰랐어요. 전에는 복습하다 막히면 자기 답을 다시 들여다보기보다 정답이나 해설부터 펼치는 일이 잦았거든요. 그런데 이번에는 답지를 바로 찾지 않고, 자신이 그린 그림과 적어 둔 조건을 먼저 따라가고 있었습니다. 풀이가 어느 부분에서 이어지는지 표시해 둔 것도 전과 달랐고요. 새 모의고사 문제를 읽던 오후에도 필요한 조건만 따로 추려 작은 그림으로 옮겨 놓았어요. 문제를 다시 펼쳤을 때 이어서 볼 자리가 한눈에 보이도록 남겨 둔 모습이었습니다.

★★★★★수업 후기

주말 복습을 하던 오후, 아이가 맞힌 문제를 그냥 넘기지 않고 다른 풀이가 있는지 한참 비교하고 있더라고요. 여러 문제를 무작정 다시 보는 게 아니라, 다시 확인할 대상을 몇 개로 좁혀 놓은 뒤 공부를 마쳤어요. 답이 맞았는지만 보고 지나가던 모습과는 조금 달랐습니다. 구서동 수학과외를 찾아보게 된 것도 이런 수학 공부 모습을 살펴보고 싶어서였어요. 학교 자습을 마치고 온 날에는 이미 공부를 끝냈다고 하길래 그런 줄 알았는데, 책상에 남은 계산 흔적을 보다가 맞힌 문제 하나를 다시 펼쳤어요. 더 짧게 풀 수 있는지, 다른 방식이 나은지 직접 나란히 비교하더라고요. 예전에는 공부한 표시만 남기고 다시 볼 이유까지 적어두지는 않았는데, 그날에는 풀이 옆에 확인할 부분을 따로 남겨 두었습니다.

★★★★★수업 후기

수행평가 준비와 시험공부가 겹친 주간에도 아이는 다음 진도부터 나가려 했지만, 선생님은 구서동 수업에서 아이와 차분히 이야기를 나누며 오답을 따로 모아 보게 했습니다. 수업이 끝날 때는 그날 다시 확인할 내용을 몇 가지로 줄여 주셔서 부담이 덜했고, 이제는 한 문제에 막혀도 수학 전체를 포기하지 않고 스스로 다시 살펴보는 모습이 보입니다.

★★★★★수업 후기

구서동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 수업이 끝난 아이의 표정이 예전보다 한결 편안해졌습니다. 숙제를 거의 다 하고 마지막 한 문제에서 막혔을 때도 선생님은 틀렸다고 바로 말하기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 주셔서, 아이가 스스로 다시 이어 가는 모습이 인상적이었습니다. 요즘은 공부를 시작하면 수업 중 궁금했던 내용을 먼저 이야기해 작은 변화가 반갑습니다.

★★★★★수업 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 먼저 문제를 풀어보려는 모습이 보였습니다. 구서동 선생님은 막히는 부분을 그냥 넘기지 않고 차분히 다시 설명한 뒤, 그날 할 일과 다음 복습 내용을 나눠 주셨습니다. 시험기간에는 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 것도 예전보다 자연스러워졌습니다.

★★★★★수업 후기