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구서동 브니엘고등학교 수학과외

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제곱함수의 역함수에서 후보 하나를 지우지 못한 이유

구서동에서 수학 과외를 받던 학생은 브니엘고등학교 문제의 표와 그래프를 함께 읽으며 역함수 식을 구하고 있었다. 원함수는 \(y=x^2\)이고 정의역이 \(x\ge 0\)인 상황이었다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꿔 \(x=y^2\)로 만든 뒤, \(y=\pm\sqrt{x}\)라고 적었다.

가능한 식을 넓게 적은 뒤 정의역 조건으로 범위를 좁히려는 접근 자체는 맞았다. 그러나 표에서 원함수의 입력과 출력 위치를 한 칸 잘못 대응시키면서, 역함수의 입력 범위를 원함수의 정의역인 \(x\ge0\)로 그대로 옮겼다. 그 결과 음의 제곱근을 제외해야 하는 중간 판단을 설명하지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔다.

두 후보 중 하나가 허용되지 않는지 직접 확인한 과정

학생에게 틀린 결과를 바로 지우게 하지 않고, 각 후보가 원래 조건을 만족하는지 반례로 확인하게 했다. \(x=4\)일 때 \(y=\sqrt4=2\)는 원함수의 정의역 \(x\ge0\)에 들어가지만, \(y=-\sqrt4=-2\)를 원함수의 입력으로 되돌리면 제한된 정의역을 벗어난다. 따라서 역함수는 \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)이고, 역함수의 정의역은 원함수의 치역인 \(x\ge0\)임을 확인했다.

역함수 식의 후보를 정한 뒤에는 원함수의 정의역과 치역이 서로 어떻게 바뀌는지 반드시 대조해야 한다.

꼭짓점이 달라진 제곱함수에서 스스로 정한 순서

이후에는 \(y=(x-1)^2+2\), \(x\ge1\)인 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 \(x=(y-1)^2+2\)로 적고, \(x-2=(y-1)^2\)에서 \(y=1\pm\sqrt{x-2}\)를 얻었다. 이어 원함수의 정의역이 \(x\ge1\)이므로 역함수에서는 \(y\ge1\)인 가지를 선택해 \(f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\)라고 정리했다.

마지막에는 경계값 \(x=2\)를 대입해 역함수값이 \(1\)이 되는지 확인하고, 원함수에 다시 넣어 \((1-1)^2+2=2\)가 나오는지 검산했다. 두 번째 가지를 선택하면 정의역 조건과 맞지 않는다는 점까지 설명하면서, 후보를 계산한 뒤 조건으로 걸러 내는 과정을 스스로 완성했다.

구서동 수학과외 학부모 후기

수학 수행평가를 준비하던 밤, 아이가 맞힌 문제에서 손을 멈추더라고요. 그냥 넘어갈 줄 알았는데 풀이를 처음부터 다시 따라가면서 더 짧게 풀 수 있는지 옆에 적어 보고 있었습니다. 답이 맞았는지만 확인하던 모습과는 조금 달랐어요. 예전에는 결과만 보고 지나가서 풀이가 어떻게 됐는지는 거의 신경 쓰지 않았거든요. 구서동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 지켜본 장면인데, 정답을 맞혔다는 사실보다 풀이를 비교하는 데 시간을 쓰는 게 눈에 띄었어요. 한 가지 방법으로 끝내지 않고 다른 순서로 풀어 보면서 어느 쪽이 덜 복잡한지도 살폈습니다. 이후 다른 유형의 독해 문제를 풀 때도 맞힌 문항을 그냥 넘기지 않았어요. 다시 볼 문제를 따로 정해 두고, 자기 풀이와 다른 풀이를 나란히 확인하더라고요. 채점만 하던 때와 달리 맞힌 문제에서도 비교할 부분을 찾아보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

학교에서 새 수학 문제가 나온 날, 아이가 문제를 전부 옮겨 적지 않고 노트 한쪽에 다시 볼 계산 한 줄과 그 이유만 적어두더라고요. 필요한 부분만 남긴 뒤 나머지 자료는 한쪽으로 정리해 두는 모습이 눈에 띄었어요. 문제집 한 권을 끝낸 날에도 책상은 꽤 어수선했는데, 수학 노트를 펼쳐 보니 ‘여기서부터 다시’라는 표시 아래 계산 한 줄만 남아 있었습니다. 예전에는 복습할 때 아는 부분과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않아 페이지 전체를 다시 들여다보곤 했거든요. 이번에는 문제 전체를 베껴 두지 않고, 왜 다시 볼지까지 짧게 적어둔 게 달랐어요. 구서동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 노트를 몇 번 보게 됐는데, 길게 정리한 흔적보다 다시 확인할 지점이 또렷하게 남아 있었습니다. 책상 위에 펼쳐진 건 여러 장의 풀이가 아니라, 필요한 한 줄과 그 옆의 이유였어요.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹친 주에는 숙제가 평소보다 많이 남아 걱정했지만, 구서동 수학 선생님은 아이가 할 수 있는 문제부터 시작하도록 계획을 조절해 주셨습니다. 완벽하게 하려다 손을 놓던 아이가 시험기간에는 틀린 답도 다시 살펴보며 차분히 복습하는 모습이 보여 안심했습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 받은 날, 아이가 구서동 수학과외 선생님께 준비한 내용을 차분히 보여주는 모습이 기억에 남았습니다. 어려운 문제를 만나도 예전처럼 답지부터 찾지 않고 먼저 질문해 보며, 집중이 흐트러지면 문제를 바꾸고 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 관리해 주셨습니다. 집에서도 수학을 시작할 때의 부담이 조금 줄어든 듯합니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 뒤 다음 공부 계획을 세우며 아이가 예전보다 차분해진 모습을 보였습니다. 구서동에서 과외를 시작할 때만 해도 한 과목에 오래 붙잡혀 있었는데, 선생님이 이번 주 분량과 복습 여부를 함께 살피고 어려운 문제 사이에 부담 적은 문제를 배치해 주셨습니다. 수업 후에는 스스로 해냈다는 말을 하며 공부를 조금 편하게 받아들이기 시작했습니다.

★★★★★학부모 후기