양정동 부산진여자고등학교 수학과외
계산보다 먼저 차수가 낮아지는 조건을 짚은 서술형 풀이
부산진여자고등학교 학생과의 수업에서 매개변수가 포함된 방정식의 서술형 문항을 다뤘다. 학생은 식을 곧바로 정리하기보다 “특정 매개변수 값에서 이차항의 계수가 0이 되면 방정식의 차수가 낮아질 수 있으므로 먼저 그 값을 확인한다”는 취지를 먼저 적었다. 이 판단 덕분에 일반적인 이차방정식 풀이를 무조건 적용하는 실수는 피할 수 있었다.
결과는 맞았지만 빠진 한 줄
문제의 식을 A(t)x2+B(t)x+C(t)=0으로 나타내자 학생은 A(t)=0이 되는 매개변수 값을 찾고, 그때의 해를 계산했다. 그러나 답안에는 최종 결과만 남아 있었다. 왜 이차방정식이 일차방정식으로 바뀌었는지 보여 주는 “A(t)=0이고 남은 일차항의 계수는 0이 아니다”라는 관계식이 빠져 있어 논리의 연결이 끊겼다.
특히 학생은 ‘이차항의 계수가 0이 되는 조건’과 ‘그 뒤 남은 일차항의 계수까지 0이 되는 조건’을 말로 구분할 때 표현이 흐려졌다. 두 조건은 결과가 다르므로 계산 전에 따로 기록하도록 했다.
이차방정식이 일차방정식으로 낮아지려면 이차항의 계수는 0이고, 일차항의 계수는 0이 아니어야 한다.
두 조건을 나누어 적은 뒤 달라진 결과
먼저 A(t)=0인 경우와 A(t)=0, B(t)=0인 경우를 별도 칸에 적었다. 첫 번째 칸에는 B(t)x+C(t)=0이 남아 일차방정식이 되는 조건을, 두 번째 칸에는 일차항마저 사라져 C(t)=0의 참·거짓을 따져야 하는 조건을 계산했다. 이렇게 나누자 학생은 차수가 낮아진다는 말만으로 모든 경우를 일차방정식이라고 부를 수 없다는 점을 식으로 확인했다.
이후에는 계수의 표현을 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 이전 식을 옮겨 적지 않고 먼저 새 이차항 계수를 0으로 놓은 뒤, 남은 일차항 계수가 0인지 점검했다. 그 결과 일차방정식으로 처리할 경우와 상수식의 참·거짓을 판단할 경우를 스스로 분리해 답안을 구성했다.
다른 계산 경로로 확인한 차수 판정
마지막에는 학생이 구한 매개변수 값을 원래 식에 직접 대입해 검산했다. 대입 후 이차항이 사라지고 일차항이 남는지 확인한 다음, 계수별로 차수를 다시 판정했다. 매개변수 값을 먼저 찾은 경로와 원식에 대입해 남은 항을 확인한 경로가 같은 결론에 도달하면서, 결과만 적는 대신 차수가 낮아지는 직전 관계식까지 답안에 포함해야 한다는 기준이 정착되었다.