하단동 건국고등학교 수학과외







지수의 모양보다 밑과 지수의 관계를 먼저 본 풀이
하단동에서 진행한 고등학교 수학과외에서 학생은 지수함수의 그래프가 포함된 변형 문항을 풀었다. 식의 형태가 익숙한 y=ax에서 벗어나 있어도, 밑이 1보다 큰지 확인하면 오른쪽으로 갈수록 함수값이 커진다는 성질을 적용해야 하는 문제였다.
학생은 중간식 옆에 밑의 조건과 비교할 지수를 따로 적었다. 예를 들어 밑이 2인 경우 2x+1과 2x-2를 비교하면서 밑 2가 1보다 크다는 점과 x+1, x-2의 순서를 분리해 기록했다. 이 덕분에 식 전체의 모양에 끌려가지는 않았지만, “밑이 1보다 크면 지수가 커질수록 값이 커진다”는 조건을 설명할 때는 표현이 모호했다.
계산 결과와 성립 조건을 따로 확인한 장면
학생이 멈춘 부분은 지수의 대소를 계산한 뒤, 그 결론이 어떤 밑에서만 유지되는지 판단하는 단계였다. 단순히 지수 x+1이 x-2보다 크다는 사실만으로 결론을 내릴 수 없고, 반드시 a>1이라는 조건이 함께 있어야 했다.
밑이 1보다 큰 지수함수에서는 지수의 대소가 함수값의 대소와 같은 방향으로 이어진다.
이번에는 처음처럼 그래프의 증가 방향을 바로 읽지 않고, 두 값을 나눈 비로 검산했다. 지수 u>v일 때
au ÷ av = au-v
이고, a>1이면 u-v>0에서 au-v>1이므로 au>av임을 확인했다. 그래프를 읽은 결과와 다른 계산 경로의 결론이 일치하면서, 증가 성질의 근거와 단순한 지수 계산을 구별할 수 있었다.
밑은 그대로 두고 지수식만 바꾼 독립 적용
새 문제에서는 이전 식을 다시 쓰지 않고, x>4일 때 52x-1과 5x+3의 크기를 직접 비교하게 했다. 밑 5는 1보다 크고, 지수의 차는
(2x-1)-(x+3)=x-4>0
이므로 52x-1>5x+3이라고 판단했다. 식의 모양과 조건을 바꾼 뒤에도 밑의 조건과 지수의 순서를 먼저 확인하는 절차를 스스로 재현했다.
성질의 범위를 반례로 점검하기
마지막에는 계산을 더 시키기보다 조건 하나를 바꾸어 결론이 어떻게 달라지는지 확인했다. 밑이 0<a<1이면 지수가 커질수록 값은 작아지고, a=1이면 모든 지수에서 함수값이 1로 같다. 학생은 이를 근거로 ‘지수가 큰 쪽의 값이 항상 크다’가 아니라 ‘밑이 1보다 클 때에만 같은 방향으로 비교된다’고 정리했다.