화명동 화명고등학교 수학과외
합성된 입력값의 순서가 함수값 비교를 바꾼 순간
화명동에서 화명고등학교 학생과 함수 비교 문제를 풀던 중, 학생은 먼저 요구되는 값을 네모로 표시하고 그 값이 어떤 합성 관계에서 나오는지 추적했다. 문제에서 함수가 증가한다는 조건이 주어졌기 때문에, 두 함수값의 크기를 바로 계산하기보다 입력값인 \(g(a)\)와 \(g(b)\)의 대소를 먼저 판단하는 방향을 잡았다.
후보는 줄였지만 마지막 판단에서 놓친 반례
학생은 \(g(a)<g(b)\)를 확인한 뒤 \(f(g(a))<f(g(b))\)로 이어지는 선택지를 빠르게 골랐다. 그러나 선택지 중 하나는 해당 관계가 일부 조건에서만 성립하는 형태였고, 원조건을 만족하는 구체적인 값을 하나 대입하면 결론이 바뀌었다. 학생은 합성된 입력값의 순서를 근거로 후보를 좁히는 데는 성공했지만, 그 관계가 모든 허용값에서 유지되는지 확인하지 않은 채 정답을 확정한 것이다.
합성함수의 값을 비교할 때는 함수값을 먼저 계산하기보다, 안쪽에서 만들어진 입력값의 대소와 바깥 함수의 변화 방향을 함께 확인해야 한다.
‘값의 순서’에서 ‘결론의 조건’까지 연결하기
교정에서는 학생이 풀이의 마지막 줄을 지우고, 먼저 \(g(a)\)와 \(g(b)\) 중 어느 쪽이 큰지 표시하게 했다. 그다음 \(f\)가 증가 함수인지 감소 함수인지 확인하고, 그 방향에 따라 \(f(g(a))\)와 \(f(g(b))\)의 관계를 문장으로 설명하게 했다. 단순히 “안쪽 값이 작으므로 함수값도 작다”라고 쓰는 데서 그치지 않고, 원조건을 벗어나는 값을 넣었을 때 결론이 유지되는지도 반례로 점검했다.
이후에는 같은 조건 하나만 남기고 식의 표현을 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 새로운 두 입력값의 관계를 직접 세운 뒤, 바깥 함수의 증가 여부를 이용해 함수값의 순서를 결정했다. 이번에는 계산 결과가 비슷해 보여도 입력값의 대소가 바뀌면 결론도 달라질 수 있음을 먼저 확인했다.
원조건을 제거했을 때 결론이 유지되는지 확인
마지막에는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 최종 부등식이 성립하려면 어떤 합성 입력값의 관계가 필요하고, 그 관계가 원래 조건에서 실제로 보장되는지 거꾸로 점검했다. 조건 하나를 제거하면 두 입력값의 순서를 확정할 수 없고 함수값 비교도 단정할 수 없다는 점까지 확인하면서, 계산 절차가 아니라 조건에 근거한 판단으로 풀이를 마무리했다.