명장동 충렬고등학교 수학과외
계산값과 그래프의 상대위치를 혼동한 풀이
명장동에서 수학 과외를 받던 학생은 두 그래프의 상대위치가 매개변수에 따라 달라지는 문제를 풀며, 문제에 제시된 수치와 식을 모두 한꺼번에 전개하지 않았다. 먼저 교점의 개수나 위치 변화와 직접 연결되는 매개변수 항만 골라 비교하려는 방식으로 풀이를 시작했다.
이 접근 자체는 적절했지만, 계산한 범위가 나온 뒤 풀이가 멈췄다. 학생은 매개변수의 값에 따라 얻은 결과를 곧바로 답으로 적었고, 그 결과가 원래 두 그래프의 상대위치 조건을 만족할 때만 성립한다는 점을 따로 확인하지 않았다. 계산 결과와 그래프 사이의 관계를 구분하지 못한 것이다.
범위를 구한 다음 반드시 남겨야 했던 조건
계산을 처음부터 다시 반복하게 하지 않고, 오류가 시작된 두 줄만 분리했다. 먼저 매개변수에 관한 부등식에서 나온 범위를 적은 뒤, 그 범위가 두 그래프의 위아래 위치나 교점 조건 중 어떤 상황을 뜻하는지 옆에 표시하게 했다. 이어서 식을 변형하는 과정에서 나누거나 제곱한 경우에는 해당 연산이 허용되는 조건도 함께 적도록 했다.
학생은 계산 결과가 단순한 후보 범위이고, 실제 답은 원조건을 통과한 값만 남긴 결과라는 점을 확인했다. 예를 들어 어떤 범위가 계산상 나왔더라도 그래프의 상대위치 조건을 대입했을 때 부등호가 바뀌거나 교점 조건을 만족하지 않으면 그 범위 전체를 답으로 사용할 수 없다는 식으로 풀이를 이어 갔다.
매개변수의 범위는 계산으로 끝나는 값이 아니라, 원래 그래프의 상대위치 조건까지 만족하는지 판정한 뒤 확정한다.
요구값이 달라진 문제에서 다시 세운 비교식
다음에는 같은 원리를 사용하되, 단순히 매개변수의 범위를 구하는 대신 특정 그래프가 다른 그래프보다 위에 놓이는 범위를 묻는 문제를 제시했다. 학생은 앞 문제의 결과를 가져오지 않고 두 식의 차를 새로 만들었다. 그 차의 부호가 어느 구간에서 일정한지 확인한 뒤, 그래프의 상대위치 조건에 맞는 매개변수 범위를 직접 도출했다.
이번에는 계산 중 얻은 후보를 바로 결론으로 쓰지 않고, 구한 범위를 원래 조건에 다시 대입했다. 경계값에서는 두 그래프가 만나는지, 경계값을 포함할 수 있는지도 따로 살폈다. 마지막으로 원조건을 제거하면 어떤 값까지 남는지 비교해 보면서, 최종 범위가 계산 결과 전체가 아니라 조건을 통과한 부분임을 스스로 확인했다.