당감동 개성고등학교 수학과외
개성고등학교 수학 과외에서 한 학생은 식과 그래프를 함께 읽는 문제를 풀며 답의 후보를 빠르게 줄여 갔다. 그래프에서 대응하는 지점을 찾고 식에 필요한 값을 연결하는 과정은 정확했지만, 양변을 제곱하기 전 조건을 최종 결론에 반영하는 데서 풀이가 흔들렸다.
교점은 찾았지만 제곱 전 부호를 놓친 순간
예를 들어 학생은 √(x+1)=x-1과 같은 형태를 볼 때 양변을 제곱해 x+1=(x-1)²를 만들 수 있다는 점은 알고 있었다. 계산하면 x=0, 3이 나오지만, 원래 식의 왼쪽은 항상 0 이상이므로 오른쪽도 0 이상이어야 한다. 따라서 제곱하기 전부터 x-1≥0, 즉 x≥1이라는 제한을 먼저 두어야 한다.
학생은 이 조건을 이용해 후보를 줄이는 데까지는 성공했다. 그러나 선택지를 검토하면서 조건에 맞아 보이는 값을 찾은 뒤, 원래 식에 직접 대입해 반례를 확인하지 않고 정답으로 확정했다. 제곱 과정에서 생긴 후보가 모두 원래 식의 해가 되는 것은 아니라는 점이 마지막 판단에서 빠진 것이다.
두 부호 조건을 따로 적어 보며 달라진 판단
교정할 때는 한 줄에 조건을 섞어 쓰지 않고 다음처럼 두 칸으로 나누었다.
- 제곱 전 왼쪽 값: 제곱근이 포함되어 있으므로 0 이상
- 제곱 전 오른쪽 값: 왼쪽과 같아야 하므로 역시 0 이상
그 뒤 각각의 조건을 식에 적용하고, 제곱한 뒤 얻은 후보를 다시 원래 식에 대입했다. x=0은 오른쪽이 -1이 되어 탈락하고, x=3은 양변이 모두 2가 되어 남는다는 것을 계산으로 확인했다. 그래프에서도 두 그래프가 만나는 지점이 조건을 만족하는 후보와 일치하는지 함께 살폈다.
양변을 제곱해 얻은 값은 후보일 뿐이며, 제곱하기 전 양변의 부호 조건과 원래 식의 대입 검사를 통과해야 최종 해가 된다.
선택지를 없앤 새 문항에서 스스로 정한 검토 순서
이후에는 조건과 표현을 바꾼 새 문항에서 교사의 순서를 따라 하지 않고 학생이 직접 판단했다. 먼저 제곱근이 있는 쪽의 범위를 확인하고, 등식의 반대편도 같은 부호를 가져야 한다는 조건을 적었다. 그다음 제곱해 후보를 구한 뒤, 조건에 맞지 않는 값을 제거하고 남은 값을 원래 식에 대입했다.
마지막에는 답의 범위와 각 후보의 원래 식 대입 결과를 표처럼 다시 확인했다. 계산으로 얻은 후보와 실제 해를 구분하고, 조건을 빠뜨렸을 때 어떤 가짜 해가 남는지도 역순으로 설명할 수 있었다. 이를 통해 답의 범위와 제곱 전 부호 조건을 최종 결론에 포함하는 풀이가 정착되었는지 확인했다.