남천동 부산동여자고등학교 수학과외
정답 후보를 고르다 놓친 반례
부산동여자고등학교 학습 자료를 풀던 학생은 여러 그래프 중 지수함수의 조건에 맞는 하나를 고르는 문제에서, 남은 선택지 옆에 작은 기호를 적으며 후보를 줄여 갔다. 처음에는 그래프가 오른쪽으로 갈수록 증가하는지만 살폈지만, 곧 y=0이 그래프에 가까워지는 선인지와 함수값의 범위가 어디에 놓이는지를 함께 확인해야 한다는 점을 표시했다.
문제는 판단 기준이 바뀌는 지점에서 생겼다. 학생은 한 후보가 x축을 점근선으로 갖고 함수값도 양수라는 사실을 확인한 뒤 정답으로 확정했다. 그러나 다른 후보와 비교하는 과정에서 그 후보가 특정 구간에서 x축 아래에 놓일 수 있다는 반례를 확인하지 않았다. y=0 점근선이라는 조건만 맞는지 본 것이 아니라, 전체 치역까지 점검했어야 했는데 앞에서 남긴 표시를 그대로 따라가며 선택을 끝낸 것이다.
점근선과 치역을 한 문장으로 바꾸어 말하기
교정할 때는 식을 계산하는 순서를 다시 외우게 하지 않고, “그래프가 x축에 가까워지지만 x축을 값으로 갖지 않으며, 모든 함수값이 어느 범위에 있는가를 확인한다”는 식으로 조건을 바꾸어 설명하게 했다. 예를 들어 y=2^x는 x가 커지거나 작아져도 그래프가 y=0에 가까워질 뿐 y=0이 되지 않으므로 점근선은 y=0이고 치역은 y>0이다.
이후에는 선택지마다 먼저 점근선을 확인하고, 이어서 그래프가 x축 위와 아래 중 어디에 놓이는지 표시하게 했다. y=0을 점근선으로 가져도 치역이 반드시 같은 것은 아니므로, 한 후보가 조건 일부를 만족한다는 이유만으로 정답을 확정하지 않도록 반례를 찾는 단계도 포함했다.
식을 바꾼 새 문항에서 다시 만든 판단
다음에는 이전 식을 보여 주지 않고, 점근선 조건은 유지한 채 표현을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 y=3^{x-1}에 대해 그래프가 x축을 넘지 않고 항상 양수이므로 점근선이 y=0이며 치역은 y>0이라고 직접 구성했다. 이어 어떤 후보가 y=0에 가까워지더라도 음의 함수값을 포함한다면 지수함수의 해당 조건과 맞지 않는다고 구분했다.
y=0에 가까워지는 모습만으로 결정하지 말고, 실제로 가능한 함수값 전체가 어느 쪽에 놓이는지 함께 확인한다.
마지막에는 계산 결과와 그래프의 위치를 서로 다른 경로로 검산했다. 3^{x-1}>0이라는 부등식에서 치역을 다시 얻고, 그래프가 x축 아래로 내려가지 않는지도 대조했다. 두 결과가 일치하자 학생은 표시를 단순히 따라가는 대신 점근선과 치역을 각각 확인해 선택지를 판정했다.