부산남구 문현여자고등학교 수학과외







로그식에서 조건을 적는 순서를 스스로 정한 학생
문현여자고등학교 수학 과외에서 한 학생은 매개변수가 로그의 밑과 진수에 함께 들어간 문제를 풀며 풀이 순서를 먼저 번호로 정리했다. 식을 변형하기 전에 정의역을 확인하고, 그다음 계산을 진행하겠다는 계획이었다. 하지만 어느 단계에서 어떤 조건을 다시 점검해야 하는지는 분명히 정하지 못했다.
후보 값을 골랐지만 밑의 조건을 놓친 장면
예를 들어 logt-1(2t+3)의 조건을 찾을 때 학생은 밑과 진수가 양수가 되어야 한다고 적었다. 그러나 밑이 1이면 로그가 정의되지 않는다는 조건을 별도로 검산하지 않아, 선택지 중 하나를 그대로 정답으로 확정했다.
풀이를 되짚어 보니 필요한 조건은 다음 세 가지였다.
t-1 > 0t-1 ≠ 12t+3 > 0
학생은 틀린 결과를 단순히 지우지 않고, 후보값을 실제 식에 대입해 반례를 만들었다. t=2이면 밑이 1이 되어 log17이 되므로 정의할 수 없었다. 또 t=0은 밑이 음수가 되어 역시 허용되지 않았다. 이 과정을 통해 ‘양수인지’만 확인해서는 부족하고, 밑이 1인지도 반드시 분리해야 한다는 점을 직접 확인했다.
로그의 밑은 양수이면서 1이 아니어야 하고, 진수는 반드시 양수여야 한다.
표현이 바뀐 식에서 조건을 다시 세운 과정
이후에는 이전 식을 참고하지 않고 log2s+1(5-s)를 제시했다. 학생은 먼저 밑에 대해 2s+1>0과 2s+1≠1을 나누어 적고, 진수에서는 5-s>0을 세웠다.
따라서 s>-1/2, s≠0, s<5를 함께 만족해야 한다고 판단했다. 밑의 식과 진수의 식이 모두 달라졌지만, 매개변수가 들어간 위치를 찾아 각각의 정의조건을 세우는 방식은 독립적으로 적용했다.
답을 역순으로 설명하며 확인한 논리
마지막에는 계산 과정을 거꾸로 설명하게 했다. 학생은 먼저 허용 범위를 말한 뒤, 그 범위에서 밑이 양수이고 1이 아니며 진수가 양수라는 사실을 하나씩 연결했다. 반대로 s=0을 넣으면 밑이 1이 되고, s=5를 넣으면 진수가 0이 된다는 점도 설명했다. 단순히 조건을 나열한 것이 아니라 각 제한이 식의 어느 부분에서 생겼는지 역방향으로 검증하면서 판단 기준을 스스로 세울 수 있었다.